Để chứng minh góc AHI = góc ADM, ta sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

Gọi P là trung điểm của BC. Ta có:

Tam giác BPC là tam giác đều với BP là đường cao, nên BP = CP.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, ta có AG = 2/3 AO và HG = 1/3 AH.
Từ đó, ta suy ra rằng AG/GH = 2, tức là AG = 2GH.
Ta có: ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 2∠ABC.
Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên ta có: ∠BAC = 2∠BOC.
Từ đó, ta suy ra rằng ∠ABC = (180° - ∠BOC)/2.
Xét tam giác ABO:

Ta có: ∠BAO = 90° - ∠BOC/2.
Vì AD là đường đường tròn nên OA vuông góc với AD.
Do đó, ta có: ∠OAD = 90° - ∠BAO = ∠BOC/2.
Xét tam giác ANK:

Ta có: ∠ANK = ∠ABC = (180° - ∠BOC)/2.
Vì tam giác ANK cân tại N, nên ta có: ∠ANK = ∠AKN = (180° - ∠AHI)/2.
Xét tam giác ADM:

Ta có: ∠ADM = ∠AOM - ∠OAD = (180° - 2∠BOC) - ∠BOC/2 = 3/2(180° - ∠BOC).
Vì tam giác ADM cân tại D, nên ta có: ∠ADM = (180° - ∠AHD)/2.
Ta cần chứng minh rằng ∠AHI = ∠ADM. Để làm được điều này, ta sẽ chứng minh rằng tam giác AHI đồng dạng với tam giác ADM.

Xét tam giác AHI và ADM:

Ta có: ∠AIH = ∠DAM (do OA cắt NK tại I).
Ta có: ∠AHI = (180° - ∠AKN) - ∠AIH = (180° - ∠AKN) - ∠DAM.
Ta có: ∠ADM = (180° - ∠AHD)/2 = (180° - ∠AKN)/2.
Từ các phương trình trên, ta suy ra rằng ∠AHI = 2∠ADM.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng góc AHI bằng góc ADM.

Để chứng minh góc AHI = góc ADM, ta sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

Gọi P là trung điểm của BC. Ta có:

Tam giác BPC là tam giác đều với BP là đường cao, nên BP = CP.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, ta có AG = 2/3 AO và HG = 1/3 AH.
Từ đó, ta suy ra rằng AG/GH = 2, tức là AG = 2GH.
Ta có: ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 2∠ABC.
Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên ta có: ∠BAC = 2∠BOC.
Từ đó, ta suy ra rằng ∠ABC = (180° - ∠BOC)/2.
Xét tam giác ABO:

Ta có: ∠BAO = 90° - ∠BOC/2.
Vì AD là đường đường tròn nên OA vuông góc với AD.
Do đó, ta có: ∠OAD = 90° - ∠BAO = ∠BOC/2.
Xét tam giác ANK:

Ta có: ∠ANK = ∠ABC = (180° - ∠BOC)/2.
Vì tam giác ANK cân tại N, nên ta có: ∠ANK = ∠AKN = (180° - ∠AHI)/2.
Xét tam giác ADM:

Ta có: ∠ADM = ∠AOM - ∠OAD = (180° - 2∠BOC) - ∠BOC/2 = 3/2(180° - ∠BOC).
Vì tam giác ADM cân tại D, nên ta có: ∠ADM = (180° - ∠AHD)/2.
Ta cần chứng minh rằng ∠AHI = ∠ADM. Để làm được điều này, ta sẽ chứng minh rằng tam giác AHI đồng dạng với tam giác ADM.

Xét tam giác AHI và ADM:

Ta có: ∠AIH = ∠DAM (do OA cắt NK tại I).
Ta có: ∠AHI = (180° - ∠AKN) - ∠AIH = (180° - ∠AKN) - ∠DAM.
Ta có: ∠ADM = (180° - ∠AHD)/2 = (180° - ∠AKN)/2.
Từ các phương trình trên, ta suy ra rằng ∠AHI = 2∠ADM.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng góc AHI bằng góc ADM.