a) Ta có hoành độ của H giữa M và N, do ME và NF là đường cao:

HM * HN = EM * EN = FM * FN
Do đó, tứ giác MEHF nội tiếp.

Để tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác PEHF, ta cần tìm trung điểm I của đoạn thẳng EF, sau đó tính khoảng cách từ I đến P, vì đường thẳng qua I và P sẽ là đường phân giác của góc ∠EPH. Khi đó, tâm của đường tròn ngoại tiếp là điểm trung điểm I và bán kính bằng khoảng cách PI.

Vì EF là đường chéo của hình bình hành MNEP, nên trung điểm I sẽ là trung điểm của đoạn thẳng NP.

Từ đó, ta có tâm của đường tròn ngoại tiếp là điểm trung điểm của NP, tức là điểm K, và bán kính bằng khoảng cách PK.

b) Ta biết góc M = 72°. Vì ME vuông góc NP nên ∠EPH = 2∠EMN. Tương tự, ∠PFH = 2∠FNM.

Do tứ giác MEHF nội tiếp nên ∠MEH + ∠MFH = 180°. Ta thay các góc bằng 2 góc tương ứng:

2∠EMN + 2∠FNM = 180° - 2∠HEF ∠EMN + ∠FNM = 90° - ∠HEF
Do đó, ta cần tính góc ∠EMN và ∠FNM để có thể tính được góc ∠HEF.

Vì ∆MNE là tam giác vuông tại N, nên:

∠MNE = 90° - ∠MEN = 90° - ∠MNP
Ta biết góc MNP bằng 180° - góc M, nên:

∠MNE = 90° - (90° - góc M) = góc M
Tương tự, ta có ∠FNM = góc N.

Vậy, ta tính được góc ∠EMN và ∠FNM:

∠EMN = 180° - ∠MNE - ∠MEN = 180° - góc M - 90° = 90° - góc M ∠FNM = 180° - ∠FNM - ∠MNF =180° - góc N - 90° = 90° - góc N
Cuối cùng, ta tính góc ∠HEF:

∠EMN + ∠FNM = 90° - ∠HEF ∠HEF = 90° - (∠EMN + ∠FNM)

a) Ta có hoành độ của H giữa M và N, do ME và NF là đường cao:

HM * HN = EM * EN = FM * FN
Do đó, tứ giác MEHF nội tiếp.

Để tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác PEHF, ta cần tìm trung điểm I của đoạn thẳng EF, sau đó tính khoảng cách từ I đến P, vì đường thẳng qua I và P sẽ là đường phân giác của góc ∠EPH. Khi đó, tâm của đường tròn ngoại tiếp là điểm trung điểm I và bán kính bằng khoảng cách PI.

Vì EF là đường chéo của hình bình hành MNEP, nên trung điểm I sẽ là trung điểm của đoạn thẳng NP.

Từ đó, ta có tâm của đường tròn ngoại tiếp là điểm trung điểm của NP, tức là điểm K, và bán kính bằng khoảng cách PK.

b) Ta biết góc M = 72°. Vì ME vuông góc NP nên ∠EPH = 2∠EMN. Tương tự, ∠PFH = 2∠FNM.

Do tứ giác MEHF nội tiếp nên ∠MEH + ∠MFH = 180°. Ta thay các góc bằng 2 góc tương ứng:

2∠EMN + 2∠FNM = 180° - 2∠HEF ∠EMN + ∠FNM = 90° - ∠HEF
Do đó, ta cần tính góc ∠EMN và ∠FNM để có thể tính được góc ∠HEF.

Vì ∆MNE là tam giác vuông tại N, nên:

∠MNE = 90° - ∠MEN = 90° - ∠MNP
Ta biết góc MNP bằng 180° - góc M, nên:

∠MNE = 90° - (90° - góc M) = góc M
Tương tự, ta có ∠FNM = góc N.

Vậy, ta tính được góc ∠EMN và ∠FNM:

∠EMN = 180° - ∠MNE - ∠MEN = 180° - góc M - 90° = 90° - góc M ∠FNM = 180° - ∠FNM - ∠MNF =180° - góc N - 90° = 90° - góc N
Cuối cùng, ta tính góc ∠HEF:

∠EMN + ∠FNM = 90° - ∠HEF ∠HEF = 90° - (∠EMN + ∠FNM)