Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm các đường phân giác trong tam giác. Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn tâm O. Chứng minh: AI . HK = AK . HI.

Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm các đường phân giác trong tam giác. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BIC.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax là tia tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB), từ điểm C trên nửa đường tròn (C khác A, B) vẽ tiếp tuyến CM cắt Ax tại M, hạ CH vuông góc với AB, MB cắt (O) tại Q và cắt CH tại N. Chứng minh MA² = MQ . MB

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung diểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung diểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

Tìm m để hàm số $y=\sqrt{-2x+3m+2}+\frac{x+1}{2x+4m-8}$ xác định trên khoảng (−∞; −2).

Giải phương trình:

x(x − 3) + 5x = x² − 8

Giải phương trình:

7x³ + 12x² – 4x = 0

Giải phương trình: 4x – 20 = 4

Tìm số tự nhiên n sao cho n² + 3n là số chính phương.

Tìm số dư của phép chia 32,451 chia cho 24 nếu lấy đến 3 chữ số ở phần thập phân của thương.

Tìm số dư của phép chia 37,99 cho 16 nếu lấy đến 2 chữ số ở phần thập phân của thương.

Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương với n là số tự nhiên.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì:

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.

Tìm tất cả các số nguyên dương n để n² + 31 là số chính phương.

Tìm x, y ∈ ℕ sao cho: xy + x + y = 17.

Giải phương trình: |2x – 1| = 2x – 1.

Đặt tính rồi tính:

15,5 : 25

Tìm n ∈ ℤ, biết:

(n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 90

Tìm n ∈ ℤ, biết:

(n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + … + 10 + 11 = 11.

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ dây cung BC = R. Đường thẳng qua O vuông góc với AC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại D. Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Vẽ dây cung BC = R. Tính các cạch và các góc chưa biết của tam giác ABC theo R.

Hình thoi ABCD có độ dài đường chéo AC là 20 cm. Độ dài đường chéo $BD=\frac{3}{5}AC$ ​.Tính diện tích hình thoi ABCD.

Hình thoi ABCD có diện tích 20 cm² và đường chéo AC bằng 10 cm. Tính độ dài đường chéo BD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tìm P là giao điểm của SC và (ADN).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Chứng minh MN // (SCD).

Cho ΔABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. Chứng minh $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn. Tia phân giác của $\widehat{CAx}$ cắt nửa đường tròn tại E, AE và BC cắt nhau tại K. Chứng minh: ΔABK cân tại B.

Xét nguyên tử hiđrô theo mẫu nguyên tử Bo. Khi chuyển động trên quỹ đạo \({\rm{K}}\), thời gian mà êlectron quay được 5 vòng là \({{\rm{t}}_0}\). Trên quỹ đạo \({\rm{L}}\), thời gian êlectron quay được một vòng là

Một sóng điện từ hình sin có tần số \(2{\rm{MHz}}\) lan truyền trong chân không từ điểm \({\rm{O}}\). Hai điểm \({\rm{M}}\), \({\rm{N}}\) nằm trên một phương truyền sóng với \({\rm{O}},{\rm{M}},{\rm{N}}\) theo thứ tự đó thẳng hàng với \({\rm{MN}} = 112,5{\rm{\;m}}\). Tại thời điểm \({{\rm{t}}_1}\), cường độ điện trường tại \({\rm{M}}\) triệt tiêu thì cảm ứng từ tại \({\rm{N}}\) triệt tiêu tại thời điểm gần \({{\rm{t}}_1}\) nhất là

D. \({{\rm{t}}_1} + 0,375\left( {{\rm{\mu s}}} \right)\).

Sóng dừng ổn định trên một sợi với tần số \(10{\rm{\;Hz}}\), biên độ của bụng sóng là \(3{\rm{\;cm}}\). Hai phần tử trên dây có tốc độ cực đại \(30{\rm{\pi cm}}/{\rm{s}}\) gần nhau nhất cách nhau \(6{\rm{\;cm}}\). Tốc độ truyền sóng trên dây là

Một con lắc đơn tích điện được treo trong điện trường đều mà vectơ cường độ điện trường có phương nằm ngang thì tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc \(36,{8^0}\). Khi không có điện trường chu kì dao động nhỏ của con lắc là \(1,92{\rm{\;s}}\). Chu kì dao động nhỏ của con lắc trong điện trường là

D. \(1,44{\rm{\;s}}\).

Đặt điện áp u = 180\(\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {2{\rm{\pi f}}.{\rm{t}} + {\rm{\varphi }}} \right)\) (với U; không đổi, còn tần số \({\rm{f}}\) thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch như hình bên (với \({{\rm{R}}^2} < \frac{{2{\rm{\;L}}}}{{\rm{C}}}\)). Khi \({\rm{f}} = {{\rm{f}}_1} = 36{\rm{\;Hz}}\) hoặc \({\rm{f}} = {{\rm{f}}_2} = 64{\rm{\;Hz}}\) thì điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm có cùng giá trị \({{\rm{U}}_{\rm{L}}}\). Khi tần số \({\rm{f}} = {{\rm{f}}_0} = 24\sqrt 2 {\rm{\;Hz}}\) thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt cực đại. Điện áp \({{\rm{U}}_{\rm{L}}}\) có giá trị bằng

Đồng vị phóng xạ \(_{84}^{210}{\rm{Po}}\) phóng xạ \({\rm{\alpha }}\) và biến thành hạt nhân bền \(_{82}^{206}{\rm{\;Pb}}\). Chu kì bán rã của \(_{84}^{210}{\rm{Po}}\) là 138 ngày. Ban đầu có một mẫu \(_{84}^{210}{\rm{Po}}\) nguyên chất. Coi khối lượng hạt nhân tính theo u xấp xỉ bằng số khối của nó. Sau thời gian bao lâu thì tỷ lệ khối lượng \({\rm{Pb}}\) và \({\rm{Po}}\) trong mẫu là \({{\rm{m}}_{{\rm{Pb}}}}:{{\rm{m}}_{{\rm{Po}}}} = 0,6\)?