Quảng cáo
3 câu trả lời 131
Để chứng minh tứ giác \( CMHE \) nội tiếp, ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp.
Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( N \) là trung điểm của \( AB \), và \( G \) là giao điểm của \( AE \) và \( BM \).
Vì \( AE \) và \( BM \) là tiếp tuyến của đường tròn tại \( A \) và \( B \), ta có:
\[ \angle ANB = 90^\circ \]
Vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( MN \) là đường phân giác của góc \( AMB \). Do đó, \( MH \perp AB \) tại \( H \).
Ta cũng biết rằng \( AE \) và \( BM \) cắt nhau tại \( G \), nên \( \angle HGM = \angle HEM \) (góc nội tiếp cùng lớn).
Tương tự, \( \angle HCM = \angle HNM \) (góc nội tiếp cùng lớn).
Vậy, tứ giác \( CMHE \) nội tiếp.
Chứng minh:
Góc $\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AE, do đó:
$\widehat{AMB} = \frac{1}{2} \widehat{AEB}$
* Góc $\widehat{BME}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AM, do đó:
$\widehat{BME} = \frac{1}{2} \widehat{AMB}$
Xét tứ giác BMHE, ta có:
* $\widehat{BME} + \widehat{HEM} = 180^\circ$ (hai góc kề nhau trong tứ giác)
* $\widehat{HEM} + \widehat{HMC} = 180^\circ$ (hai góc đối diện trong tứ giác)
Từ hai điều trên, ta suy ra:
$\widehat{BME} + \widehat{HMC} = 180^\circ$
Ta có:
$\widehat{BME} = \frac{1}{2} \widehat{AMB}$
$\widehat{HMC} = \frac{1}{2} \widehat{BAC} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$
Do đó:
$\frac{1}{2} \widehat{AMB} + 90^\circ = 180^\circ$
$\Rightarrow \widehat{AMB} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Xét tứ giác CMHE, ta có:
* $\widehat{CMH} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn đường kính AB)
* $\widehat{AMB} = 90^\circ$ (chứng minh trên)
Do đó, tứ giác CMHE có hai góc đối diện bằng 90 độ, suy ra tứ giác CMHE nội tiếp đường tròn (theo định lý tứ giác nội tiếp).
**Kết luận:**
Vậy tứ giác CMHE nội tiếp đường tròn.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
3 88487
-
Hỏi từ APP VIETJACK3 53621
-
42904
-
13 32562
-
1 29881
-
Hỏi từ APP VIETJACK2 21087