Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.

Chứng minh :

a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường tròn

b) CK.CD=CA.CB

c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàng

d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI

Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA  kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

    1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

    2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

    3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất. 

Theo kế hoạch hai tổ được giao sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian đã định. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch 18% và tổ II sản xuất vượt mức kế hoạch 21%. Vì vậy trong cùng thời gian quy định hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Tính số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.

Hưởng ứng phong trào trồng cây xanh vì môi trường xanh sạch đẹp; một chi đoàn dự định trồng được 600 cây xanh trong một thời gian quy định. Do mỗi ngày họ trồng được nhiều hơn dự định là 30 cây nên công việc được hoàn thành sớm hơn quy định 1 ngày. Tính số ngày mà chi đoàn dự kiến hoàn thành công việc.
 

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

1, Chứng minh tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp

2, Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

3, Tìm thêm các tứ giác nội tiếp

4, Chứng minh FC là phân giác của góc DFE

5, Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp Δ DEF

6, Lấy K đối xứng với H qua BC. Chứng minh K thuộc đường tròn tâm O

7, Chứng minh OA vuông góc với FE

Một chiếc xe tải đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến thành phố Cần Thơ, quãng đường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ thành phố Cần Thơ về thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.

Rút gọn các biểu thức: $\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$