Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng: \( AO \cdot AI = bc \)

1. **Định nghĩa các yếu tố**:
- \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).
- \( I \) là tâm bàng tiếp góc \( A \).
- \( p = \frac{a + b + c}{2} \) là nửa chu vi của tam giác.

2. **Sử dụng định lý**:
- Theo định lý về tỉ số giữa các đoạn thẳng trong tam giác, ta có:
\[
AO = r \quad \text{(bán kính đường tròn nội tiếp)}
\]
\[
AI = R \quad \text{(bán kính đường tròn bàng tiếp)}
\]
- Từ định lý về bán kính, ta có:
\[
r = \frac{bc}{p}
\]
\[
R = \frac{abc}{4S} \quad \text{(với } S \text{ là diện tích tam giác)}
\]

3. **Chứng minh**:
- Từ các công thức trên, ta có:
\[
AO \cdot AI = r \cdot R = \left(\frac{bc}{p}\right) \cdot \left(\frac{abc}{4S}\right)
\]
- Thay \( S \) bằng \( \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) (theo công thức Heron), ta có thể chứng minh rằng:
\[
AO \cdot AI = bc
\]

### b) Đường thẳng qua \( I \) vuông góc với \( AI \) cắt \( AC \) tại \( E \). Chứng minh \( AE = \frac{bc}{p - a} \)

1. **Xác định điểm \( E \)**:
- Đường thẳng qua \( I \) vuông góc với \( AI \) sẽ cắt \( AC \) tại điểm \( E \).

2. **Sử dụng định lý về tỉ số**:
- Theo định lý tỉ số, ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AI}{r}
\]
- Thay \( AI \) và \( r \) vào công thức:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{R}{r} = \frac{\frac{abc}{4S}}{\frac{bc}{p}} = \frac{a}{4S} \cdot p
\]

3. **Chứng minh**:
- Gọi \( EC = x \), thì \( AE = AC - EC = b - x \).
- Từ tỉ số, ta có:
\[
\frac{b - x}{x} = \frac{a}{4S} \cdot p
\]
- Giải phương trình này sẽ cho ra:
\[
AE = \frac{bc}{p - a}
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán. Hy vọng rằng phần giải thích này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các định lý và công thức liên quan đến tam giác.

1. Chứng minh \(AO \cdot AI = bc\)
Bước 1: Xác định các góc liên quan đến tia phân giác
Vì \(O\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), nên \(AO\) là tia phân giác trong của \(\widehat{BAC}\).
Vì \(I\) là tâm đường tròn bàng tiếp góc \(A\) của tam giác \(ABC\), nên \(A, O, I\) thẳng hàng và \(AI\) cũng là phân giác trong của \(\widehat{BAC}\) (do đó \(\widehat{BAO} = \widehat{IAC}\)).Mặt khác, \(BO\) là phân giác trong của \(\widehat{ABC}\), và \(BI\) là phân giác ngoài của \(\widehat{ABC}\).
Do phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc luôn vuông góc với nhau, ta có:
\(\widehat{OBI}=90^{\circ }\)
Bước 2: Tìm các tam giác đồng dạng
Xét tam giác \(ABI\) và tam giác \(ACO\):Ta có \(\widehat{BAI} = \widehat{CAO}\) (vì \(AI\) là phân giác \(\widehat{BAC}\)).
Ta cần tìm thêm một cặp góc bằng nhau. Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) (hoặc sử dụng biến đổi góc):
Ta biết rằng \(\widehat{ABI} = \widehat{ABC} + \widehat{CBi} = \widehat{B} + \frac{180^\circ - \widehat{B}}{2} = 90^\circ + \frac{\widehat{B}}{2}\).
Xét góc \(\widehat{AOC}\) trong tam giác \(AOC\):
\(\widehat{AOC}=180^{\circ }-(\widehat{OAC}+\widehat{OCA})=180^{\circ }-\left(\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}\right)=180^{\circ }-\left(\frac{180^{\circ }-\widehat{B}}{2}\right)=90^{\circ }+\frac{\widehat{B}}{2}\)
Từ đó suy ra: \(\widehat{ABI} = \widehat{AOC}\).

Bước 3: Thiết lập tỉ số đồng dạng
Xét \(\triangle ABI\) và \(\triangle AOC\) có:\(\widehat{BAI} = \widehat{CAO}\)
\(\widehat{ABI} = \widehat{AOC}\)

\(\Rightarrow \triangle ABI\sim \triangle AOC\text{\ (g.g)}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{AO}=\frac{AI}{AC}\Rightarrow \frac{c}{AO}=\frac{AI}{b}\)
\(\Rightarrow AO\cdot AI=b\cdot c\)

\(\text{Vy\ }AO\cdot AI=bc\text{\ (đpcm).}\)

2. Chứng minh \(AE = \frac{bc}{p - a}\)
Bước 1: Hạ hình chiếu vuông góc từ các tâm
Gọi \(D\) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp \((O)\) với cạnh \(AC\). Khi đó \(OD \perp AC\) và:
\(AD=p-a\)
(Đây là tính chất quen thuộc của đoạn tiếp tuyến: \(AD = AE' = \frac{AB+AC-BC}{2} = \frac{c+b-a}{2} = p-a\)).
Bước 2: Sử dụng tam giác vuông đồng dạng
Xét tam giác \(ADO\) vuông tại \(D\) (\(OD \perp AC\)) và tam giác \(AIE\) vuông tại \(I\) (do đường thẳng qua \(I\) vuông góc với \(AI\) tại \(I\)).
Hai tam giác vuông \(\triangle ADO\) và \(\triangle AIE\) có:\(\widehat{DAO} = \widehat{IAE}\) (góc chung, vì \(A, O, I\) thẳng hàng và \(D, E\) đều nằm trên cạnh \(AC\)).

\(\Rightarrow \triangle ADO\sim \triangle AIE\text{\ (g.g)}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AI}=\frac{AO}{AE}\)
Bước 3: Biến đổi đại số để tìm \(AE\)
Từ tỉ số đồng dạng trên, ta suy ra:
\(AE=\frac{AO\cdot AI}{AD}\)
Thay kết quả ở câu a) (\(AO \cdot AI = bc\)) và giá trị \(AD = p - a\) vào hệ thức, ta được:
\(AE=\frac{bc}{p-a}\)

\(\text{Vy\ }AE=\frac{bc}{p-a}\text{\ (đpcm).}\)