Đề bài: Cho \(x, y, z \in \mathbb{Z}\) thỏa mãn \((x - y)(y - z)(z - x) = x + y + z\). Chứng minh rằng \((x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3\) chia hết cho 81. --- ### Bước 1: Đặt ký hiệu - Gọi: \[ a = x - y, \quad b = y - z, \quad c = z - x. \] - Ta có: \[ a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0. \] ### Bước 2: Biểu thức cần chứng minh - Ta cần chứng minh: \[ a^3 + b^3 + c^3 \text{ chia hết cho } 81. \] ### Bước 3: Sử dụng tính chất của \(a, b, c\) - Vì \(a + b + c = 0\), ta có công thức: \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. \] - Do đó, bài toán trở thành chứng minh: \[ 3abc \text{ chia hết cho } 81 \implies abc \text{ chia hết cho } 27. \] ### Bước 4: Sử dụng điều kiện đề bài - Đề bài cho: \[ (x - y)(y - z)(z - x) = x + y + z, \] tức là: \[ abc = x + y + z. \] - Thay vào, ta có: \[ abc = x + y + z. \] ### Bước 5: Kết hợp các điều kiện - Ta cần chứng minh \(3abc\) chia hết cho 81, tức là \(abc\) chia hết cho 27. - Nhưng \(abc = x + y + z\), vậy ta cần chứng minh: \[ x + y + z \text{ chia hết cho } 27. \] ### Bước 6: Phân tích thêm - Từ \(a + b + c = 0\), ta có: \[ c = -a - b. \] - Thay vào \(abc = x + y + z\), ta có: \[ ab(-a - b) = x + y + z \implies -a^2 b - a b^2 = x + y + z. \] - Nhưng \(x + y + z = abc = -a^2 b - a b^2\). - Ta cần chứng minh \(x + y + z\) chia hết cho 27. ### Bước 7: Sử dụng tính chia hết - Ta có: \[ x + y + z = abc. \] - Vậy \(x + y + z\) chính là tích \(abc\). - Để \(3abc\) chia hết cho 81, tức là \(abc\) chia hết cho 27. - Do \(a, b, c\) là các số nguyên, ta cần chứng minh \(abc\) chia hết cho \(27\). ### Bước 8: Sử dụng tính chất modulo 3 - Xét modulo 3: - Nếu một trong \(a, b, c\) chia hết cho 3, thì \(abc\) chia hết cho 3. - Nếu không, thì \(a, b, c \equiv \pm 1 \pmod{3}\). - Nhưng \(a + b + c = 0\), nên modulo 3: \[ a + b + c \equiv 0 \pmod{3}. \] - Nếu \(a, b, c \equiv \pm 1 \pmod{3}\), tổng ba số \(\pm 1\) không thể bằng 0 modulo 3 trừ khi có một số bằng 0 modulo 3. - Vậy ít nhất một trong \(a, b, c\) chia hết cho 3. - Do đó, \(abc\) chia hết cho 3. ### Bước 9: Xét modulo 9 và 27 - Ta cần chứng minh \(abc\) chia hết cho \(27 = 3^3\). - Ta sẽ chứng minh \(a, b, c\) đều chia hết cho 3. - Giả sử ngược lại, chỉ có một hoặc hai trong số \(a, b, c\) chia hết cho 3. - Vì \(a + b + c = 0\), nếu chỉ một trong ba số chia hết cho 3, tổng không thể chia hết cho 3. - Nếu hai số chia hết cho 3, thì tổng cũng chia hết cho 3, nhưng \(c = -a - b\) cũng phải chia hết cho 3. - Do đó, tất cả \(a, b, c\) đều chia hết cho 3. - Gọi: \[ a = 3a_1, \quad b = 3b_1, \quad c = 3c_1, \] với \(a_1, b_1, c_1 \in \mathbb{Z}\). - Thay vào \(a + b + c = 0\): \[ 3a_1 + 3b_1 + 3c_1 = 0 \implies a_1 + b_1 + c_1 = 0. \] - Thay vào \(abc = x + y + z\): \[ abc = 27 a_1 b_1 c_1 = x + y + z. \] - Vậy \(x + y + z\) chia hết cho 27. - Từ đó: \[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc = 3 \times 27 a_1 b_1 c_1 = 81 a_1 b_1 c_1, \] chia hết cho 81. --- ### **Kết luận:** - \(\boxed{(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 \text{ chia hết cho } 81.}\)