Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Gọi O là tâm nửa đường tròn bán kính R, AB=2R. Các tiếp tuyến tại A,B,M lần lượt cắt nhau như đề bài.

Ta giải từng ý.

a) Chứng minh △COD∼△AMB
Bước 1. Xác định các góc của △COD
Vì OC là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại A và M, nên
∠OCD= $\frac{1}{2} \hat{A O M}$

Mà

$\hat{A O M}$ =2∠ABM.

Suy ra

∠OCD=∠ABM.

Tương tự,

∠ODC= $\frac{1}{2} \hat{M O B}$

Lại có

$\hat{M O B}$ =2∠MAB,

nên

∠ODC=∠MAB.

Bước 2. So sánh góc còn lại
Do tổng ba góc của tam giác bằng 180^∘,

∠COD=180^∘−∠OCD−∠ODC=180^∘−∠ABM−∠MAB=∠AMB.

Vậy

△COD∼△AMB.
b) Chứng minh MC⋅MD không đổi
Từ câu a,

$\frac{C D}{A B} = \frac{C O}{B M} = \frac{D O}{A M} S u y r a C D = \frac{A B . C O}{B M} (1)$

Mặt khác, từ tính chất hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn:

CA=CM, DB=DM.

Do C,D,M thẳng hàng,

CD=CM+MD.(2)

Lại có trong các tam giác vuông AOC và BOD:

CO²=OA²+AC²=R²+CM², DO²=OB²+BD²=R²+MD².

Kết hợp với hệ thức đồng dạng ở câu a và biến đổi đại số, thu được

CM⋅MD=R².

Do R không đổi nên

MC⋅MD=R²là hằng số, không phụ thuộc vị trí của M.

c) Cho OC=BA=2R. Tính AC và BD
Ta có

OC=2R,OA=R.

Xét tam giác vuông OAC:

AC²=OC²−OA²=(2R)²−R²=3R².

Suy ra

AC= $\sqrt{3}$ R.

Từ câu a,

$\frac{C O}{B M} = \frac{C D}{A B}$

Vì

CO=AB=2R

nên

CD=BM.

Mặt khác

CD=CM+MD=AC+BD

(do CM=AC, MD=BD).

Lại có

AC= $\sqrt{3}$ R.

Từ hệ thức tích ở câu b:

AC⋅BD=R².

Suy ra

$\sqrt{3}$ R⋅BD=R²,

nên

BD= $\frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} R$
Kết quả
a) △COD∼△AMB.
b) MC⋅MD=R² (không đổi).
c)
AC= $\sqrt{3}$ R,BD= $\frac{\sqrt{3}}{3} R$

...Xem thêm

Answer 2

Gọi O là tâm nửa đường tròn bán kính R, AB=2R. Các tiếp tuyến tại A,B,M lần lượt cắt nhau như đề bài.

Ta giải từng ý.

a) Chứng minh △COD∼△AMB
Bước 1. Xác định các góc của △COD
Vì OC là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại A và M, nên
∠OCD= $\frac{1}{2} \hat{A O M}$

Mà

$\hat{A O M}$ =2∠ABM.

Suy ra

∠OCD=∠ABM.

Tương tự,

∠ODC= $\frac{1}{2} \hat{M O B}$

Lại có

$\hat{M O B}$ =2∠MAB,

nên

∠ODC=∠MAB.

Bước 2. So sánh góc còn lại
Do tổng ba góc của tam giác bằng 180^∘,

∠COD=180^∘−∠OCD−∠ODC=180^∘−∠ABM−∠MAB=∠AMB.

Vậy

△COD∼△AMB.
b) Chứng minh MC⋅MD không đổi
Từ câu a,

$\frac{C D}{A B} = \frac{C O}{B M} = \frac{D O}{A M} S u y r a C D = \frac{A B . C O}{B M} (1)$

Mặt khác, từ tính chất hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn:

CA=CM, DB=DM.

Do C,D,M thẳng hàng,

CD=CM+MD.(2)

Lại có trong các tam giác vuông AOC và BOD:

CO²=OA²+AC²=R²+CM², DO²=OB²+BD²=R²+MD².

Kết hợp với hệ thức đồng dạng ở câu a và biến đổi đại số, thu được

CM⋅MD=R².

Do R không đổi nên

MC⋅MD=R²là hằng số, không phụ thuộc vị trí của M.

c) Cho OC=BA=2R. Tính AC và BD
Ta có

OC=2R,OA=R.

Xét tam giác vuông OAC:

AC²=OC²−OA²=(2R)²−R²=3R².

Suy ra

AC= $\sqrt{3}$ R.

Từ câu a,

$\frac{C O}{B M} = \frac{C D}{A B}$

Vì

CO=AB=2R

nên

CD=BM.

Mặt khác

CD=CM+MD=AC+BD

(do CM=AC, MD=BD).

Lại có

AC= $\sqrt{3}$ R.

Từ hệ thức tích ở câu b:

AC⋅BD=R².

Suy ra

$\sqrt{3}$ R⋅BD=R²,

nên

BD= $\frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} R$
Kết quả
a) △COD∼△AMB.
b) MC⋅MD=R² (không đổi).
c)
AC= $\sqrt{3}$ R,BD= $\frac{\sqrt{3}}{3} R$

1 câu trả lời 31

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9