Để giải quyết bài toán này một cách chính xác theo chương trình GDPT 2018, trước hết cần đính chính một lỗi đánh máy nhỏ trong đề bài: Các đường cao chính xác của tam giác \(ABC\) phải là \(AD\) và \(BF\) chứ không phải là \(BE\) và \(CF\) (vì các câu hỏi A, B, C đều sử dụng đỉnh \(D, F\) và gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\)).
Dưới đây là hình vẽ trực quan của bài toán cùng lời giải chi tiết cho cả 3 câu.

1. Chứng minh tứ giác \(ABDF\) nội tiếp
Xét tam giác \(ABC\) có:
\(AD \perp BC \implies \angle ADB = 90^\circ\).
\(BF \perp AC \implies \angle AFB = 90^\circ\). 

Xét tứ giác \(ABDF\) có hai đỉnh \(D\) và \(F\) kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện \(AB\) dưới một góc vuông:
\(\angle ADB=\angle AFB=90^{\circ }\
Suy ra tứ giác \(ABDF\) nội tiếp một đường tròn. 
Tâm đường tròn: Là trung điểm \(E\) của cạnh \(AB\). 

2. Chứng minh \(CD \cdot CB = CF \cdot CA\)
Xét \(\triangle CDF\) và \(\triangle CAB\), ta có:
Góc \(\angle C\) chung.
Vì tứ giác \(ABDF\) nội tiếp nên góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện:
\(\angle CDF=\angle CAB\)
Do đó, \(\triangle CDF \sim \triangle CAB\) (g.g).

Từ tỉ số đồng dạng, ta suy ra:
\(\frac{CD}{CF}=\frac{CA}{CB}\implies CD\cdot CB=CF\cdot CA\)

3. Chứng minh 3 điểm \(K, E, H\) thẳng hàng

Bước 1: Chứng minh \(K, I, H\) thẳng hàng
Ta có \(\angle IDC = 90^\circ\) và \(\angle IFC = 90^\circ\), suy ra 4 điểm \(C, D, I, F\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(IC\).
Do \(H\) thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\triangle CDF\) nên \(H\) cũng nằm trên đường tròn đường kính \(IC\).
Suy ra góc nội tiếp chắn nửa đường tròn:
\(\angle IHC=90^{\circ }\implies IH\perp HC\quad (1)\)
Lại có \(CK\) là đường kính của \((O, R)\), mà \(H \in (O, R)\) nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn:
\(\angle KHC=90^{\circ }\implies KH\perp HC\quad (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\), qua điểm \(H\) chỉ có một đường thẳng vuông góc với \(HC\), do đó 3 điểm \(K, I, H\) thẳng hàng.

Bước 2: Chứng minh \(E\) thuộc đường thẳng \(KI\)
Vì \(CK\) là đường kính của \((O, R)\) nên:
\(\angle CBK = 90^\circ \implies KB \perp BC\). Mà \(AD \perp BC \implies KB \parallel AD \implies KB \parallel AI\).
\(\angle CAK = 90^\circ \implies KA \perp AC\). Mà \(BF \perp AC \implies KA \parallel BF \implies KA \parallel BI\). []

Xét tứ giác \(AKBI\) có \(KB \parallel AI\) và \(KA \parallel BI\), suy ra \(AKBI\) là hình bình hành.
Mà \(E\) là trung điểm của đường chéo \(AB\), do đó \(E\) cũng phải là trung điểm của đường chéo còn lại \(KI\).
Suy ra 3 điểm \(K, E, I\) thẳng hàng.
Kết hợp lại, vì cả \(E\) và \(H\) đều thẳng hàng với \(K, I\), ta kết luận 3 điểm \(K, E, H\) thẳng hàng. 

✅ Kết luận
Ba điểm \(K, E, H\) thẳng hàng vì chúng cùng thuộc đường thẳng đi qua giao điểm các cặp đường vuông góc và tâm đối xứng của hình bình hành \(AKBI\).