Để giải quyết bài toán này một cách chính xác theo chương trình GDPT 2018, trước hết cần đính chính một lỗi đánh máy nhỏ trong đề bài: Các đường cao chính xác của tam giác \(ABC\) phải là \(AD\) và \(BF\) chứ không phải là \(BE\) và \(CF\) (vì các câu hỏi A, B, C đều sử dụng đỉnh \(D, F\) và gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\)).
Dưới đây là hình vẽ trực quan của bài toán cùng lời giải chi tiết cho cả 3 câu.

1. Chứng minh tứ giác \(ABDF\) nội tiếp
Xét tam giác \(ABC\) có:
\(AD \perp BC \implies \angle ADB = 90^\circ\).
\(BF \perp AC \implies \angle AFB = 90^\circ\). 

Xét tứ giác \(ABDF\) có hai đỉnh \(D\) và \(F\) kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện \(AB\) dưới một góc vuông:
\(\angle ADB=\angle AFB=90^{\circ }\
Suy ra tứ giác \(ABDF\) nội tiếp một đường tròn. 
Tâm đường tròn: Là trung điểm \(E\) của cạnh \(AB\). 

2. Chứng minh \(CD \cdot CB = CF \cdot CA\)
Xét \(\triangle CDF\) và \(\triangle CAB\), ta có:
Góc \(\angle C\) chung.
Vì tứ giác \(ABDF\) nội tiếp nên góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện:
\(\angle CDF=\angle CAB\)
Do đó, \(\triangle CDF \sim \triangle CAB\) (g.g).

Từ tỉ số đồng dạng, ta suy ra:
\(\frac{CD}{CF}=\frac{CA}{CB}\implies CD\cdot CB=CF\cdot CA\)

3. Chứng minh 3 điểm \(K, E, H\) thẳng hàng

Bước 1: Chứng minh \(K, I, H\) thẳng hàng
Ta có \(\angle IDC = 90^\circ\) và \(\angle IFC = 90^\circ\), suy ra 4 điểm \(C, D, I, F\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(IC\).
Do \(H\) thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\triangle CDF\) nên \(H\) cũng nằm trên đường tròn đường kính \(IC\).
Suy ra góc nội tiếp chắn nửa đường tròn:
\(\angle IHC=90^{\circ }\implies IH\perp HC\quad (1)\)
Lại có \(CK\) là đường kính của \((O, R)\), mà \(H \in (O, R)\) nên góc nội tiếp chắn nửa đường tròn:
\(\angle KHC=90^{\circ }\implies KH\perp HC\quad (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\), qua điểm \(H\) chỉ có một đường thẳng vuông góc với \(HC\), do đó 3 điểm \(K, I, H\) thẳng hàng.

Bước 2: Chứng minh \(E\) thuộc đường thẳng \(KI\)
Vì \(CK\) là đường kính của \((O, R)\) nên:
\(\angle CBK = 90^\circ \implies KB \perp BC\). Mà \(AD \perp BC \implies KB \parallel AD \implies KB \parallel AI\).
\(\angle CAK = 90^\circ \implies KA \perp AC\). Mà \(BF \perp AC \implies KA \parallel BF \implies KA \parallel BI\). []

Xét tứ giác \(AKBI\) có \(KB \parallel AI\) và \(KA \parallel BI\), suy ra \(AKBI\) là hình bình hành.
Mà \(E\) là trung điểm của đường chéo \(AB\), do đó \(E\) cũng phải là trung điểm của đường chéo còn lại \(KI\).
Suy ra 3 điểm \(K, E, I\) thẳng hàng.
Kết hợp lại, vì cả \(E\) và \(H\) đều thẳng hàng với \(K, I\), ta kết luận 3 điểm \(K, E, H\) thẳng hàng. 

✅ Kết luận
Ba điểm \(K, E, H\) thẳng hàng vì chúng cùng thuộc đường thẳng đi qua giao điểm các cặp đường vuông góc và tâm đối xứng của hình bình hành \(AKBI\).

Bài toán này là một bài hình học phẳng rất hay trong chương trình Toán THCS (Hình học lớp 9). Dưới đây là hình vẽ minh họa cùng lời giải chi tiết cho câu C theo đúng tinh thần và kiến thức của Chương trình GDPT 2018 (sử dụng tính chất góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp và phương tích/sự đồng dạng).

Lưu ý về ký hiệu: Trong đề bài có sự nhầm lẫn nhỏ về tên gọi ở câu A (đường cao BE và CF cắt nhau tại I, nhưng câu A lại nhắc đến điểm D). Thực chất, D là giao điểm của AI với BC (tức là D là chân đường cao thứ ba của tam giác ABC, vì I là trực tâm). Câu C cũng có hai điểm cùng ký hiệu là E (đường cao BE và trung điểm E của AB). Để tránh nhầm lẫn và đồng nhất với các bài toán gốc, ta sẽ gọi M là trung điểm của AB thay cho chữ E ở câu C nhé!

Hình vẽ minh họa bài toán
Hướng dẫn giải chi tiết Câu C
Đề bài phát biểu lại cho chính xác ký hiệu: Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDF$ cắt $(O, R)$ tại $H$ ($H$ khác $C$). Vẽ đường kính $CK$ của $(O, R)$ và gọi $M$ là trung điểm $AB$. Chứng minh 3 điểm $K, M, H$ thẳng hàng.

Phương pháp tư duy:
Để chứng minh 3 điểm $K, M, H$ thẳng hàng, một phương pháp rất mạnh trong chương trình mới là chứng minh cả $M$ và đường thẳng $KH$ cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng thỏa mãn một tính chất hình học đặc biệt. Ở đây ta sẽ chứng minh $CH \perp KH$ (do $CK$ là đường kính) và chứng minh $CH \perp MH$.

Các bước giải chi tiết:
Bước 1: Chứng minh $CH \perp KH$

Vì $CK$ là đường kính của đường tròn tâm $(O)$ và điểm $H$ nằm trên đường tròn $(O)$, nên góc $\widehat{CHK}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
Do đó, $\widehat{CHK} = 90^\circ$ hay $CH \perp KH$. (1)
Bước 2: Tìm trục đẳng phương và tính chất của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDF$

Xét tứ giác $BDFC$: Ta có $\widehat{BFC} = 90^\circ$ (do $CF \perp AB$) và $\widehat{BDC} = 90^\circ$ (do $AD \perp BC$).
Vì hai đỉnh $F$ và $D$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^\circ$, nên tứ giác $BDFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.
Điều này có nghĩa là: Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDF$ chính là đường tròn đường kính $BC$.
Gọi tâm của đường tròn này là $O'$ thì $O'$ chính là trung điểm của $BC$.
Bước 3: Chứng minh $CH \perp MH$

Vì $H$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDF$ (tức đường tròn đường kính $BC$), nên góc $\widehat{BHC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $BC$.
Do đó, $\widehat{BHC} = 90^\circ \Rightarrow BH \perp CH$.
Mặt khác, từ (1) ta có $CH \perp KH$, suy ra $KH \parallel BH$?? Không phải, ở đây ta cần cẩn thận kẻo bị trùng đường thẳng. * Cách tiếp cận chính xác bằng góc:

Kéo dài $CH$ cắt đường thẳng $AB$ tại $G$.
Xét đường tròn $(O)$ và đường tròn đường kính $BC$: Cả hai đường tròn này cắt nhau tại $C$ và $H$, do đó $CH$ là dây chung.
Trục đẳng phương của hai đường tròn là đường thẳng $CH$.
Từ hệ thức lượng hoặc tính chất quen thuộc của trực tâm: $AF \cdot AB = AH \cdot AG$...
Cách 2 đơn giản và trực quan hơn bằng "Hình bình hành" (Dành cho học sinh lớp 9 GDPT 2018):

Chứng minh $BH \parallel AK$ và $AH \parallel BK$:

Ta có $\widehat{CAK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $CK$). Suy ra $AK \perp AC$.
Mà $BI \perp AC$ (do $BI$ là đường cao).
Từ đó suy ra $AK \parallel BI$ hay $AK \parallel BH$ (2).
Tương tự, ta có $\widehat{CBK} = 90^\circ \Rightarrow BK \perp BC$.
Mà $AI \perp BC$ (do $AI$ là đường cao).
Từ đó suy ra $BK \parallel AI$ hay $BK \parallel AH$ (3).
Sử dụng tính chất hình bình hành:

Từ (2) và (3), xét tứ giác $AHBK$ có các cặp cạnh đối song song ($AK \parallel BH$ và $BK \parallel AH$).
Do đó, tứ giác $AHBK$ là hình bình hành.
Kết luận thẳng hàng:

Vì $AHBK$ là hình bình hành nên hai đường chéo của nó phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà theo giả thiết, $M$ là trung điểm của cạnh $AB$.
Do đó, $M$ cũng phải là trung điểm của đường chéo còn lại là $HK$.
Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $HK$, hiển nhiên 3 điểm $K, M, H$ thẳng hàng (đpcm).
Lời giải bằng cách 2 sử dụng hình bình hành rất ngắn gọn, dễ hiểu và hoàn toàn phù hợp với các định lý về tứ giác, góc nội tiếp trong chương trình Toán lớp 9 mới.