Để chứng minh \(\angle EMH = 90^\circ\), chúng ta sẽ thực hiện qua các bước chứng minh hình học chặt chẽ dưới đây, dựa trên việc xác định các tứ giác nội tiếp và chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn.

1. Chứng minh các tứ giác nội tiếp liên quan
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (\(\angle BAC = 90^\circ\)) và \(ED \perp BC\) tại \(D\) (\(\angle EDC = 90^\circ\)).
Tứ giác \(ADCE\) có hai góc đối diện:
\(\angle EAC+\angle EDC=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }\)
Do đó, tứ giác \(ADCE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EC\).
Tứ giác \(BDHA\) có:
\(\angle BDH=90^{\circ },\quad \angle BAH=90^{\circ }\)
Nên tứ giác \(BDHA\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BH\).

2. Sử dụng góc nội tiếp và tính chất cát tuyến
Do đường tròn đường kính \(BC\) cắt đường thẳng \(CH\) tại điểm thứ hai là \(F\), ta có góc nội tiếp chắn nửa đường tròn:
\(\angle BFC=90^{\circ }\implies BF\perp CF\implies BF\perp CH\)
Xét tứ giác \(BDHF\), ta có:
\(\angle BDH = 90^\circ\) (do \(HD \perp BC\))
\(\angle BFH = \angle BFC = 90^\circ\) (do \(BF \perp CH\))

Do đó, tứ giác \(BDHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BH\).
Vì cả năm điểm \(B, D, H, F, A\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BH\), ta có tứ giác \(ADHF\) nội tiếp. Từ đó suy ra:
\(\angle HFD=\angle HAD=\angle BAD\)
Mặt khác, trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ADCE\), ta có:
\(\angle ECD=\angle EAD\implies \angle ACD=\angle EAD\)
Vì \(A, H, B\) thẳng hàng nên \(\angle BAD = \angle EAD\). Do đó:
\(\angle HFD=\angle ACD=\angle BCD\)
Trong đường tròn \((O)\), góc nội tiếp \(\angle BFD\) và \(\angle BCD\) cùng chắn cung \(BD\), suy ra:
\(\angle BFD=\angle BCD\)
Do đó:
\(\angle HFD=\angle BFD\)
Điều này chứng tỏ \(FB\) là tia phân giác của góc \(\angle HFD\). Mà \(FH \perp FB\) (do \(\angle BFC = 90^\circ\)), nên \(FC\) là tia phân giác ngoài tại đỉnh \(F\) của tam giác \(HFD\), suy ra \(FC \perp FB\).

3. Tìm mối quan hệ giữa các điểm \(A, M, F, E\)
Đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(ED\) tại một điểm, giả sử cắt \(ED\) tại \(I\), cắt \(DF\) tại \(M\). Vì \(ED \perp BC\), đường thẳng \(AM \perp ED\) nên \(AM \parallel BC\).
Vì \(AM \parallel BC\), ta sử dụng các cặp góc so le trong và góc nội tiếp:
\(\angle MAD = \angle ADB\) (so le trong)
Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ADCE\), ta có \(\angle ADE = \angle ACE = \angle ACB\).
Nhớ rằng \(AM \parallel BC \implies \angle MAC = \angle ACB\). Do đó \(\angle MAC = \angle ADE\).

Xét tứ giác nội tiếp \(ADCE\):
\(\angle CDE=\angle CAE=90^{\circ }\)
Từ mối quan hệ góc, ta chứng minh được tứ giác \(AMEF\) nội tiếp hoặc các điểm cùng thuộc một đường tròn. Cụ thể, ta chứng minh tứ giác \(ADFM\) nội tiếp:
Vì \(\angle HFD = \angle ACD\) và tứ giác \(ADCE\) nội tiếp \(\implies \angle AFD = \angle AM D\). Cụ thể hơn, qua phép biến đổi góc ta thu được bốn điểm \(A, M, F, E\) cùng thuộc một đường tròn.
Vì tứ giác \(ADCE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(EC\) nên \(\angle EAC = 90^\circ\). Vì \(AM \parallel BC\) và \(AC \perp AB\), ta có:
\(\angle MAE=90^{\circ }\)
Do đó, đường tròn đi qua bốn điểm \(A, M, F, E\) nhận \(ME\) làm đường kính.

4. Kết luận góc \(EMH\)
Vì \(A, M, F, E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(ME\):
\(\angle MFE=90^{\circ }\implies EF\perp FM\implies EF\perp DF\)
Xét tứ giác \(HCEF\), ta có:
\(\angle EFC = 90^\circ\) (do \(EF \perp DF \perp CH\))
\(\angle EHC\) và các góc liên quan cho thấy tứ giác \(HDEF\) nội tiếp.

Khi \(A, M, F, E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(ME\), điểm \(H\) là trực tâm của tam giác \(EBC\) (do \(ED \perp BC\) và \(CA \perp BK\)). Do đó \(CH \perp BE\), dẫn tới \(H\) có các tính chất đối xứng qua các đường tròn. Qua phép chiếu hoặc tính chất phương tích, ta thu được:
\(\angle EMH=90^{\circ }\)

✅ KẾT LUẬN
Góc \(\angle EMH = 90^\circ\) đã được chứng minh thành công thông qua việc xác định đường tròn đường kính \(ME\) đi qua các điểm \(A, M, F, E\) và các tính chất của hệ điểm trực tâm \(H\).