Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh tích \(P = (a_1 - b_1)(a_2 - b_2)\dots(a_n - b_n)\) là một số chẵn khi \(n\) là số lẻ, ta sử dụng tính chất về tính chẵn lẻ của tổng các số và phép trừ.
1. Xét tính chẵn lẻ của tổng:
Xét hiệu của toàn bộ các số trong dãy ban đầu và dãy hoán vị:
\(S = (a_1 + a_2 + \dots + a_n) - (b_1 + b_2 + \dots + b_n)\)
Vì \(\{b_1, b_2, \dots, b_n\}\) là một cách sắp xếp khác của \(\{a_1, a_2, \dots, a_n\}\), tổng của các phần tử ở hai dãy này hoàn toàn bằng nhau.
Do đó: \(S = 0\) (là một số chẵn).
2. Liên hệ giữa tổng và từng hiệu nhỏ:
Theo tính chất chẵn lẻ, hiệu của hai số nguyên có cùng tính chẵn lẻ (cùng chẵn hoặc cùng lẻ) sẽ luôn là một số chẵn. Ngược lại, hiệu của hai số khác tính chẵn lẻ sẽ là một số lẻ.
Giả sử trong \(n\) thừa số của tích \(P\), có \(k\) thừa số lẻ và \((n-k)\) thừa số chẵn.
Tổng \(S\) có thể viết lại theo từng cặp \((a_i - b_i)\) như sau:
\(S = (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + \dots + (a_n - b_n)\)
Nếu toàn bộ \(n\) thừa số đều là số lẻ, thì tổng \(S\) sẽ là tổng của \(n\) số lẻ. Vì \(n\) là số lẻ nên \(S\) phải là một số lẻ, điều này mâu thuẫn với kết luận ban đầu là \(S = 0\) (số chẵn). [1]
3. Kết luận:
Từ mâu thuẫn trên, giả sử sai, tức là không thể có tất cả các thừa số đều là số lẻ. Do đó, phải có ít nhất một thừa số trong tích là số chẵn. Vì một nhân tử chẵn nhân với bất kỳ số nào cũng cho kết quả là số chẵn, nên tích \((a_1 - b_1)(a_2 - b_2)\dots(a_n - b_n)\) phải là một số chẵn.

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh tích \(P = (a_1 - b_1)(a_2 - b_2)\dots(a_n - b_n)\) là một số chẵn khi \(n\) là số lẻ, ta sử dụng tính chất về tính chẵn lẻ của tổng các số và phép trừ.
1. Xét tính chẵn lẻ của tổng:
Xét hiệu của toàn bộ các số trong dãy ban đầu và dãy hoán vị:
\(S = (a_1 + a_2 + \dots + a_n) - (b_1 + b_2 + \dots + b_n)\)
Vì \(\{b_1, b_2, \dots, b_n\}\) là một cách sắp xếp khác của \(\{a_1, a_2, \dots, a_n\}\), tổng của các phần tử ở hai dãy này hoàn toàn bằng nhau.
Do đó: \(S = 0\) (là một số chẵn).
2. Liên hệ giữa tổng và từng hiệu nhỏ:
Theo tính chất chẵn lẻ, hiệu của hai số nguyên có cùng tính chẵn lẻ (cùng chẵn hoặc cùng lẻ) sẽ luôn là một số chẵn. Ngược lại, hiệu của hai số khác tính chẵn lẻ sẽ là một số lẻ.
Giả sử trong \(n\) thừa số của tích \(P\), có \(k\) thừa số lẻ và \((n-k)\) thừa số chẵn.
Tổng \(S\) có thể viết lại theo từng cặp \((a_i - b_i)\) như sau:
\(S = (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + \dots + (a_n - b_n)\)
Nếu toàn bộ \(n\) thừa số đều là số lẻ, thì tổng \(S\) sẽ là tổng của \(n\) số lẻ. Vì \(n\) là số lẻ nên \(S\) phải là một số lẻ, điều này mâu thuẫn với kết luận ban đầu là \(S = 0\) (số chẵn). [1]
3. Kết luận:
Từ mâu thuẫn trên, giả sử sai, tức là không thể có tất cả các thừa số đều là số lẻ. Do đó, phải có ít nhất một thừa số trong tích là số chẵn. Vì một nhân tử chẵn nhân với bất kỳ số nào cũng cho kết quả là số chẵn, nên tích \((a_1 - b_1)(a_2 - b_2)\dots(a_n - b_n)\) phải là một số chẵn.

1 câu trả lời 39

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9