Để chứng minh tích \(P = (a_1 - b_1)(a_2 - b_2)\dots(a_n - b_n)\) là một số chẵn khi \(n\) là số lẻ, ta sử dụng tính chất về tính chẵn lẻ của tổng các số và phép trừ.
1. Xét tính chẵn lẻ của tổng:
Xét hiệu của toàn bộ các số trong dãy ban đầu và dãy hoán vị:
\(S = (a_1 + a_2 + \dots + a_n) - (b_1 + b_2 + \dots + b_n)\)
Vì \(\{b_1, b_2, \dots, b_n\}\) là một cách sắp xếp khác của \(\{a_1, a_2, \dots, a_n\}\), tổng của các phần tử ở hai dãy này hoàn toàn bằng nhau.
Do đó: \(S = 0\) (là một số chẵn).
2. Liên hệ giữa tổng và từng hiệu nhỏ:
Theo tính chất chẵn lẻ, hiệu của hai số nguyên có cùng tính chẵn lẻ (cùng chẵn hoặc cùng lẻ) sẽ luôn là một số chẵn. Ngược lại, hiệu của hai số khác tính chẵn lẻ sẽ là một số lẻ.
Giả sử trong \(n\) thừa số của tích \(P\), có \(k\) thừa số lẻ và \((n-k)\) thừa số chẵn.
Tổng \(S\) có thể viết lại theo từng cặp \((a_i - b_i)\) như sau:
\(S = (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + \dots + (a_n - b_n)\)
Nếu toàn bộ \(n\) thừa số đều là số lẻ, thì tổng \(S\) sẽ là tổng của \(n\) số lẻ. Vì \(n\) là số lẻ nên \(S\) phải là một số lẻ, điều này mâu thuẫn với kết luận ban đầu là \(S = 0\) (số chẵn). [1]
3. Kết luận:
Từ mâu thuẫn trên, giả sử sai, tức là không thể có tất cả các thừa số đều là số lẻ. Do đó, phải có ít nhất một thừa số trong tích là số chẵn. Vì một nhân tử chẵn nhân với bất kỳ số nào cũng cho kết quả là số chẵn, nên tích \((a_1 - b_1)(a_2 - b_2)\dots(a_n - b_n)\) phải là một số chẵn.
 

Đề bài:
Cho \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) là các số nguyên, và \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) là một cách sắp xếp khác của các số \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Chứng minh rằng nếu \(n\) là số lẻ thì tích \((a_1 - b_1)(a_2 - b_2) \cdots (a_n - b_n)\) là số chẵn.

---

**Phân tích và chứng minh:**

- \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) là một dãy số nguyên.
- \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) là một hoán vị khác của dãy \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), tức là cùng tập hợp các số nhưng thứ tự khác.
- \(n\) là số lẻ.
- Ta cần chứng minh tích \(\prod_{i=1}^n (a_i - b_i)\) là số chẵn, tức là tích này chia hết cho 2.

---

**Bước 1: Xét các phần tử \(a_i\) và \(b_i\)**

- Vì \(b_i\) là hoán vị khác của \(a_i\), nên tồn tại ít nhất một vị trí \(j\) sao cho \(a_j \neq b_j\).
- Nếu \(a_i = b_i\) với mọi \(i\), thì \(b_i\) không phải là hoán vị khác mà là chính dãy \(a_i\), điều này mâu thuẫn với giả thiết.

---

**Bước 2: Xét tính chẵn lẻ của các số \(a_i\)**

- Vì \(a_i\) là số nguyên, mỗi số có thể là chẵn hoặc lẻ.
- Tập hợp \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) có \(n\) phần tử, với \(n\) lẻ.

---

**Bước 3: Giả sử ngược lại tích \(\prod (a_i - b_i)\) là số lẻ**

- Để tích là số lẻ, mỗi thừa số \((a_i - b_i)\) phải là số lẻ.
- Vậy với mọi \(i\), \(a_i - b_i\) là số lẻ.

---

**Bước 4: Xét điều kiện để \(a_i - b_i\) là số lẻ**

- Hiệu của hai số nguyên là số lẻ khi và chỉ khi một số chẵn, một số lẻ.
- Tức là với mọi \(i\), \(a_i\) và \(b_i\) phải có tính chẵn lẻ khác nhau.

---

**Bước 5: Xét tổng số phần tử chẵn và lẻ trong dãy \(a_i\)**

- Gọi số phần tử chẵn trong dãy \(a_i\) là \(c\), số phần tử lẻ là \(l\).
- Ta có \(c + l = n\), với \(n\) lẻ.
- Do \(n\) lẻ nên \(c\) và \(l\) không thể cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
- Tức là một trong hai số \(c, l\) là số lẻ, số còn lại là số chẵn.

---

**Bước 6: Xét tính chẵn lẻ của dãy \(b_i\)**

- Vì \(b_i\) là hoán vị của \(a_i\), nên tập hợp các số chẵn và lẻ trong \(b_i\) giống hệt trong \(a_i\).
- Do đó, số lượng phần tử chẵn và lẻ trong \(b_i\) cũng lần lượt là \(c\) và \(l\).

---

**Bước 7: Xét điều kiện \(a_i\) và \(b_i\) khác tính chẵn lẻ tại mọi vị trí**

- Nếu với mọi \(i\), \(a_i\) và \(b_i\) khác tính chẵn lẻ, thì:
- Tại vị trí \(i\), nếu \(a_i\) chẵn thì \(b_i\) lẻ.
- Nếu \(a_i\) lẻ thì \(b_i\) chẵn.
- Điều này có nghĩa là hoán vị \(b_i\) được tạo ra bằng cách đổi chỗ các phần tử chẵn sang vị trí các phần tử lẻ trong \(a_i\), và ngược lại.

---

**Bước 8: Xét số lượng phần tử chẵn và lẻ**

- Vì \(n\) lẻ, nên số phần tử chẵn và lẻ không bằng nhau.
- Giả sử \(c \neq l\).
- Khi hoán vị \(b_i\) cố gắng đặt phần tử chẵn vào vị trí phần tử lẻ của \(a_i\), và phần tử lẻ vào vị trí phần tử chẵn của \(a_i\), sẽ có vị trí không thể thỏa mãn vì số lượng phần tử chẵn và lẻ không bằng nhau.
- Do đó, không thể có hoán vị \(b_i\) sao cho tại mọi vị trí \(i\), \(a_i\) và \(b_i\) khác tính chẵn lẻ.

---

**Bước 9: Kết luận**

- Vậy tồn tại ít nhất một vị trí \(i\) sao cho \(a_i\) và \(b_i\) cùng tính chẵn lẻ.
- Khi đó, \(a_i - b_i\) là số chẵn (hiệu của hai số cùng tính chẵn lẻ).
- Do đó, tích \(\prod_{i=1}^n (a_i - b_i)\) có ít nhất một thừa số chẵn, nên tích này là số chẵn.

---

**Kết luận cuối cùng:**

- Nếu \(n\) là số lẻ, thì tích \((a_1 - b_1)(a_2 - b_2) \cdots (a_n - b_n)\) là số chẵn.

---

**Trả lời:**

\[
\boxed{
\text{Nếu } n \text{ lẻ, thì } (a_1 - b_1)(a_2 - b_2) \cdots (a_n - b_n) \text{ là số chẵn.}
}
\]