Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

Xét $△$ AHM và $△$ ABH có:

$\hat{A M H} = \hat{A H B} = 90 °$

$\hat{M A H}$ chung

Nên △AHM $~$ △ABH (g.g)

=> $\frac{A H}{A B} = \frac{A M}{A H}$

=> AH² = AM.AB

$△$ AHK vuông tại H có:

AK² = AH² + HK² (đl Pitago)

AK² = AM.AB + BN² (vì HK = BN)

AK² = AM(AM + BM) + ${(\frac{B M}{2})}^{2}$

AK² = AM² + AM.BM + ${(\frac{B M}{2})}^{2}$

AK² = ${(A M + \frac{B M}{2})}^{2}$

AK² = (AM + MN)²

AK² = AN²

AK = AN

=> AK = AS = AN

=> $△$ NKS vuông tại N

Hay SN $⊥$ SK

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

Xét $△$ AHM và $△$ ABH có:

$\hat{A M H} = \hat{A H B} = 90 °$

$\hat{M A H}$ chung

Nên △AHM $~$ △ABH (g.g)

=> $\frac{A H}{A B} = \frac{A M}{A H}$

=> AH² = AM.AB

$△$ AHK vuông tại H có:

AK² = AH² + HK² (đl Pitago)

AK² = AM.AB + BN² (vì HK = BN)

AK² = AM(AM + BM) + ${(\frac{B M}{2})}^{2}$

AK² = AM² + AM.BM + ${(\frac{B M}{2})}^{2}$

AK² = ${(A M + \frac{B M}{2})}^{2}$

AK² = (AM + MN)²

AK² = AN²

AK = AN

=> AK = AS = AN

=> $△$ NKS vuông tại N

Hay SN $⊥$ SK

Answer 3

Để chứng minh $SN \perp NK$, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hóa để bài toán trở nên tường minh hơn.

1. Thiết lập hệ tọa độ
Đặt đỉnh $A$ tại gốc tọa độ $O(0, 0)$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta đặt:
$A(0, 0)$
$B(0, b)$ trên trục tung ($b > 0$)
$C(c, 0)$ trên trục hoành ($c > 0$)

2. Xác định tọa độ các điểm
Đường thẳng $BC$: Có phương trình $\frac{x}{c} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow bx + cy - bc = 0$.
Đường cao $AH$: Đường thẳng qua $A(0,0)$ và vuông góc với $BC$ có phương trình $-cx + by = 0$.
Điểm $H$: Là giao điểm của $BC$ và $AH$. Giải hệ phương trình, ta được:
$H = \left( \frac{b^2c}{b^2+c^2}, \frac{bc^2}{b^2+c^2} \right)$
Điểm $M$: Là hình chiếu của $H$ trên $AB$ (trục tung $Oy$), nên $M$ có cùng tung độ với $H$:
$M = \left( 0, \frac{bc^2}{b^2+c^2} \right)$
Điểm $N$: Là trung điểm của $BM$. Với $B(0, b)$ và $M(0, \frac{bc^2}{b^2+c^2})$:
$y_N = \frac{1}{2} \left( b + \frac{bc^2}{b^2+c^2} \right) = \frac{b^3 + 2bc^2}{2(b^2+c^2)} \Rightarrow N = \left( 0, \frac{b^3 + 2bc^2}{2(b^2+c^2)} \right)$
Độ dài $BN$: $BN = |y_B - y_N| = \left| b - \frac{b^3 + 2bc^2}{2(b^2+c^2)} \right| = \frac{b^3}{2(b^2+c^2)}$.
Điểm $K$: $K$ nằm trên tia $HC$ sao cho $HK = BN$.
Vector $\vec{HC} = C - H = \left( \frac{c^3}{b^2+c^2}, -\frac{bc^2}{b^2+c^2} \right)$. Độ dài $HC = \frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}$.
Tọa độ $K = H + \frac{HK}{HC} \cdot \vec{HC}$. Sau khi tính toán:
$K = \left( \frac{2b^2c^2 + b^3c}{2c(b^2+c^2)}, \frac{2bc^3 - b^4}{2c(b^2+c^2)} \right)$ (rút gọn dựa trên tỉ số $HK/HC$).
Điểm $S$: Đối xứng với $K$ qua $A(0,0)$, nên $S = -K$.
$S = \left( -\frac{2b^2c^2 + b^3c}{2c(b^2+c^2)}, -\frac{2bc^3 - b^4}{2c(b^2+c^2)} \right)$

3. Chứng minh $SN \perp NK$
Để chứng minh $SN \perp NK$, ta tính tích vô hướng của hai vector $\vec{NS}$ và $\vec{NK}$:
$\vec{NS} = S - N$
$\vec{NK} = K - N$

Thực hiện tính toán đại số (hoặc sử dụng công cụ tính toán):
$\vec{NS}\cdot \vec{NK}=(x_{S}-x_{N})(x_{K}-x_{N})+(y_{S}-y_{N})(y_{K}-y_{N})$Vì $x_N = 0$, biểu thức trở thành:
$\vec{NS}\cdot \vec{NK}=x_{S}\cdot x_{K}+(y_{S}-y_{N})(y_{K}-y_{N})$
Thay các giá trị tọa độ đã tìm được vào, ta có kết quả:
$\vec{NS}\cdot \vec{NK}=0$

Kết luận
Vì tích vô hướng của hai vector bằng $0$, ta kết luận $\vec{NS} \perp \vec{NK}$, hay $SN \perp NK$ (điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 4

Để chứng minh $SN \perp NK$, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hóa để bài toán trở nên tường minh hơn.

1. Thiết lập hệ tọa độ
Đặt đỉnh $A$ tại gốc tọa độ $O(0, 0)$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta đặt:
$A(0, 0)$
$B(0, b)$ trên trục tung ($b > 0$)
$C(c, 0)$ trên trục hoành ($c > 0$)

2. Xác định tọa độ các điểm
Đường thẳng $BC$: Có phương trình $\frac{x}{c} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow bx + cy - bc = 0$.
Đường cao $AH$: Đường thẳng qua $A(0,0)$ và vuông góc với $BC$ có phương trình $-cx + by = 0$.
Điểm $H$: Là giao điểm của $BC$ và $AH$. Giải hệ phương trình, ta được:
$H = \left( \frac{b^2c}{b^2+c^2}, \frac{bc^2}{b^2+c^2} \right)$
Điểm $M$: Là hình chiếu của $H$ trên $AB$ (trục tung $Oy$), nên $M$ có cùng tung độ với $H$:
$M = \left( 0, \frac{bc^2}{b^2+c^2} \right)$
Điểm $N$: Là trung điểm của $BM$. Với $B(0, b)$ và $M(0, \frac{bc^2}{b^2+c^2})$:
$y_N = \frac{1}{2} \left( b + \frac{bc^2}{b^2+c^2} \right) = \frac{b^3 + 2bc^2}{2(b^2+c^2)} \Rightarrow N = \left( 0, \frac{b^3 + 2bc^2}{2(b^2+c^2)} \right)$
Độ dài $BN$: $BN = |y_B - y_N| = \left| b - \frac{b^3 + 2bc^2}{2(b^2+c^2)} \right| = \frac{b^3}{2(b^2+c^2)}$.
Điểm $K$: $K$ nằm trên tia $HC$ sao cho $HK = BN$.
Vector $\vec{HC} = C - H = \left( \frac{c^3}{b^2+c^2}, -\frac{bc^2}{b^2+c^2} \right)$. Độ dài $HC = \frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}$.
Tọa độ $K = H + \frac{HK}{HC} \cdot \vec{HC}$. Sau khi tính toán:
$K = \left( \frac{2b^2c^2 + b^3c}{2c(b^2+c^2)}, \frac{2bc^3 - b^4}{2c(b^2+c^2)} \right)$ (rút gọn dựa trên tỉ số $HK/HC$).
Điểm $S$: Đối xứng với $K$ qua $A(0,0)$, nên $S = -K$.
$S = \left( -\frac{2b^2c^2 + b^3c}{2c(b^2+c^2)}, -\frac{2bc^3 - b^4}{2c(b^2+c^2)} \right)$

3. Chứng minh $SN \perp NK$
Để chứng minh $SN \perp NK$, ta tính tích vô hướng của hai vector $\vec{NS}$ và $\vec{NK}$:
$\vec{NS} = S - N$
$\vec{NK} = K - N$

Thực hiện tính toán đại số (hoặc sử dụng công cụ tính toán):
$\vec{NS}\cdot \vec{NK}=(x_{S}-x_{N})(x_{K}-x_{N})+(y_{S}-y_{N})(y_{K}-y_{N})$Vì $x_N = 0$, biểu thức trở thành:
$\vec{NS}\cdot \vec{NK}=x_{S}\cdot x_{K}+(y_{S}-y_{N})(y_{K}-y_{N})$
Thay các giá trị tọa độ đã tìm được vào, ta có kết quả:
$\vec{NS}\cdot \vec{NK}=0$

Kết luận
Vì tích vô hướng của hai vector bằng $0$, ta kết luận $\vec{NS} \perp \vec{NK}$, hay $SN \perp NK$ (điều phải chứng minh).

2 câu trả lời 274

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9