Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
- Xét tứ giác BEDC có $\hat{B E C} = \hat{B D C} = 90^{\circ}$ (do CE, AD là các đường cao).
- Hai đỉnh E, D cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90 $°$ nên BEDC là tứ giác nội tiếp.
- Tương tự, xét tứ giác CKDA có $\hat{C K A} = \hat{C D A} = 90^{\circ}$
=> Tứ giác CKDA nội tiếp.
- Xét tứ giác AKEB có $\hat{A K B} = \hat{A E B} = 90^{\circ}$
=> Tứ giác AKEB nội tiếp.
- Từ tứ giác nội tiếp BEDC, ta có: $\hat{E D B}$ = $\hat{E C B}$ (cùng chắn cung EB).
- Từ tứ giác nội tiếp CKDA, ta có: $\hat{K D C}$ = $\hat{K A C}$ (cùng chắn cung KC).
Mà $\hat{E C B} = \hat{K A C}$ (vì cùng phụ với $\hat{A B C}$ trong các tam giác vuông CEB và KAB).
=> $\hat{E D B} = \hat{K D C}$ .
- Ta có AD $⊥$ BC tại D. Gọi tia Dx là tia đối của tia DB.
- Vì $\hat{E D B} = \hat{K D C} \Rightarrow 90^{\circ} - \hat{E D B} = 90^{\circ} - \hat{K D C} \Rightarrow \hat{E D A} = \hat{K D A}$ .
=> DA là tia phân giác của $\hat{E D K}$ .
- Vì DA là phân giác trong của $\hat{D E K}$ tại đỉnh D và DB $⊥$ DA (do AD $⊥$ BC).
=> DB là tia phân giác ngoài của $∆$ DEK tại đỉnh D.
=> Áp dụng tính chất đường phân giác ngoài cho tam giác DEK với điểm M nằm trên đường thẳng chứa cạnh đối diện: $\frac{M E}{M K} = \frac{D E}{D K}$
- Theo tính chất tam giác đồng dạng từ các tứ giác nội tiếp: $∆$ BDE $\approx$ $∆$ KDC (g.g)
=> $\frac{B D}{K D} = \frac{B E}{K C} = \frac{E D}{D C}$ .
- Từ các tỉ số đồng dạng và tính chất phân giác, ta có: $\frac{B M}{E M} = \frac{B D}{E D}$
=> BM.ED = BD.EM (Điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
- Xét tứ giác BEDC có $\hat{B E C} = \hat{B D C} = 90^{\circ}$ (do CE, AD là các đường cao).
- Hai đỉnh E, D cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90 $°$ nên BEDC là tứ giác nội tiếp.
- Tương tự, xét tứ giác CKDA có $\hat{C K A} = \hat{C D A} = 90^{\circ}$
=> Tứ giác CKDA nội tiếp.
- Xét tứ giác AKEB có $\hat{A K B} = \hat{A E B} = 90^{\circ}$
=> Tứ giác AKEB nội tiếp.
- Từ tứ giác nội tiếp BEDC, ta có: $\hat{E D B}$ = $\hat{E C B}$ (cùng chắn cung EB).
- Từ tứ giác nội tiếp CKDA, ta có: $\hat{K D C}$ = $\hat{K A C}$ (cùng chắn cung KC).
Mà $\hat{E C B} = \hat{K A C}$ (vì cùng phụ với $\hat{A B C}$ trong các tam giác vuông CEB và KAB).
=> $\hat{E D B} = \hat{K D C}$ .
- Ta có AD $⊥$ BC tại D. Gọi tia Dx là tia đối của tia DB.
- Vì $\hat{E D B} = \hat{K D C} \Rightarrow 90^{\circ} - \hat{E D B} = 90^{\circ} - \hat{K D C} \Rightarrow \hat{E D A} = \hat{K D A}$ .
=> DA là tia phân giác của $\hat{E D K}$ .
- Vì DA là phân giác trong của $\hat{D E K}$ tại đỉnh D và DB $⊥$ DA (do AD $⊥$ BC).
=> DB là tia phân giác ngoài của $∆$ DEK tại đỉnh D.
=> Áp dụng tính chất đường phân giác ngoài cho tam giác DEK với điểm M nằm trên đường thẳng chứa cạnh đối diện: $\frac{M E}{M K} = \frac{D E}{D K}$
- Theo tính chất tam giác đồng dạng từ các tứ giác nội tiếp: $∆$ BDE $\approx$ $∆$ KDC (g.g)
=> $\frac{B D}{K D} = \frac{B E}{K C} = \frac{E D}{D C}$ .
- Từ các tỉ số đồng dạng và tính chất phân giác, ta có: $\frac{B M}{E M} = \frac{B D}{E D}$
=> BM.ED = BD.EM (Điều phải chứng minh).

1 câu trả lời 45

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9