Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chứng minh A,I,K thẳng hàng
Ta có:

I là trung điểm của BC

$\Rightarrow O I ⊥ B C V ì A G ∥ B C \Rightarrow A G ⊥ O I X é t đ ư ờ n g t r ò n (O) : D l à đ ư ờ n g c a o n ê n ∠ A D C = 90 ° \Rightarrow D l à c h â n đ ư ờ n g c a o t ừ A$

Do G,A thuộc đường tròn và GD cắt lại đường tròn tại H
⇒ AHGD là tứ giác nội tiếp

Suy ra: $∠ A H D = ∠ A G D M à : A G ∥ B C \Rightarrow ∠ A G D = ∠ D C B \Rightarrow ∠ A H D = ∠ D C B X é t đ ư ờ n g t h ẳ n g M H c ắ t đ ư ờ n g t r ò n t ạ i K : \Rightarrow ∠ A K H = ∠ A C B ∠ A K I = 180 ° D o đ ó b a đ i ể m A, I, K t h ẳ n g h à n g .$

...Xem thêm

Answer 2

Chứng minh A,I,K thẳng hàng
Ta có:

I là trung điểm của BC

$\Rightarrow O I ⊥ B C V ì A G ∥ B C \Rightarrow A G ⊥ O I X é t đ ư ờ n g t r ò n (O) : D l à đ ư ờ n g c a o n ê n ∠ A D C = 90 ° \Rightarrow D l à c h â n đ ư ờ n g c a o t ừ A$

Do G,A thuộc đường tròn và GD cắt lại đường tròn tại H
⇒ AHGD là tứ giác nội tiếp

Suy ra: $∠ A H D = ∠ A G D M à : A G ∥ B C \Rightarrow ∠ A G D = ∠ D C B \Rightarrow ∠ A H D = ∠ D C B X é t đ ư ờ n g t h ẳ n g M H c ắ t đ ư ờ n g t r ò n t ạ i K : \Rightarrow ∠ A K H = ∠ A C B ∠ A K I = 180 ° D o đ ó b a đ i ể m A, I, K t h ẳ n g h à n g .$

Answer 3

a, Xét tứ giác BFEC có:

∠BFC = 90o (CF là đường cao)

∠BEC = 90o (BE là đường cao)

=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 2 góc bằng nhau

=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có:

∠BFH = 90o (CF là đường cao)

∠BDH = 90o (AD là đường cao)

=> ∠BFH + ∠BDH = 180o

=> Tứ giác BFHD là tứ giác nội tiếp

b, Xét ΔDHC và ΔDBA có:

∠HDC = ∠BDA = 90o

∠DHC = ∠DBA ( cùng bù với góc ∠FHD )

=> ΔDHC ∼ ΔDBA (g.g)

=> DHDB = DCDA

=> DH.DA = DC.DB

c, Ta có: ∠KDI = 90o (AD là đường cao)

=> D thuộc đường tròn đường kính KI (1)

Tam giác AFH vuông tại F có FK là trung tuyến nên KF = KH

Do đó ΔKFH cân tại K => ∠KFH = ∠KHF

Mà ∠KHF = ∠CHD (đối đỉnh) => ∠KFH = ∠CHD

Tương tự ΔICF cân tại C (do IF = IC) => ∠IFC = ∠ICF

Từ đó: ∠KFI = ∠KFH + ∠IFC = ∠CHD + ∠ICF = 90o (ΔDHC vuông tại D)

=> F thuộc đường tròn đường kính KI (2)

Chứng minh tương tự ∠KEI = 90o nên E thuộc đường tròn đường kính KI (3)

Từ (1), (2), (3): 5 điểm K, F, D, I, E thuộc đường tròn đường kính KI

d, Xét ΔMFB và ΔMCE có:

=> ΔMFB ∼ ΔMCE

=> MF.ME = MB.MC

Chứng minh tương tự: ME. MF = MD. MI

Từ đó: MB.MC = MD. MI

Vậy...