Chào bạn, đây là một dạng toán cực trị hình học rất hay trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giải quyết câu (c) về việc tìm vị trí của $A$ sao cho diện tích tam giác $APQ$ nhỏ nhất, chúng ta cần thực hiện các bước tư duy cốt lõi sau đây:

1. Phân tích tính chất tam giác $APQ$
Vì $AM, AN$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$ nên $AO$ là tia phân giác của góc $\widehat{PAQ}$.
Đường thẳng vuông góc với $AO$ tại $O$ cắt $AM, AN$ tại $P$ và $Q$. Do tính đối xứng qua trục $AO$, tam giác $APQ$ luôn là tam giác cân tại A.
Diện tích tam giác $APQ$ được tính bằng công thức: $S_{APQ} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot PQ = AO \cdot OP$ (vì $O$ là trung điểm của $PQ$).

2. Biểu diễn diện tích qua một biến số
Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần đưa diện tích về một biểu thức liên quan đến $OA$ (đặt $OA = x$) hoặc góc $\alpha = \widehat{MAO}$.

Trong tam giác vuông $AMO$ tại $M$: $OM = R$ và $OA = x$.

Ta có $\cos \alpha = \frac{AM}{AO}$ và $\sin \alpha = \frac{OM}{OA} = \frac{R}{x}$.
Trong tam giác vuông $AOP$ tại $O$:

$OP = OA \cdot \tan \alpha = x \cdot \tan \alpha$.
Từ đó, diện tích tam giác $APQ$ là:

$S_{APQ} = x \cdot (x \cdot \tan \alpha) = x^2 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Thay $\sin \alpha = \frac{R}{x}$ và $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{R^2}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - R^2}}{x}$:

$S_{APQ} = x^2 \cdot \frac{R/x}{\sqrt{x^2 - R^2}/x} = \frac{R \cdot x^2}{\sqrt{x^2 - R^2}}$
3. Tìm giá trị nhỏ nhất (Cực trị)
Để $S_{APQ}$ nhỏ nhất, ta cần tìm $x$ sao cho biểu thức $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - R^2}}$ nhỏ nhất.

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

Ta có $S^2 = \frac{R^2 \cdot x^4}{x^2 - R^2}$.

Đặt $u = x^2 - R^2 \Rightarrow x^2 = u + R^2$.

$S^2 = \frac{R^2 (u + R^2)^2}{u} = R^2 \cdot \frac{u^2 + 2uR^2 + R^4}{u} = R^2 \left( u + \frac{R^4}{u} + 2R^2 \right)$
Áp dụng Cauchy cho hai số dương $u$ và $\frac{R^4}{u}$:

$u + \frac{R^4}{u} \geq 2\sqrt{u \cdot \frac{R^4}{u}} = 2R^2$
 

Dấu "=" xảy ra khi $u = \frac{R^4}{u} \Rightarrow u = R^2$.

Cách 2: Hình học hóa

Dấu "=" xảy ra khi $x^2 - R^2 = R^2 \Rightarrow x^2 = 2R^2 \Rightarrow x = R\sqrt{2}$.

4. Kết luận vị trí điểm A
Khi $OA = R\sqrt{2}$:

$\sin \alpha = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.
Lúc này $\widehat{MAN} = 2\alpha = 90^\circ$.
Vậy: Để diện tích tam giác $APQ$ nhỏ nhất thì điểm $A$ phải nằm cách tâm $O$ một khoảng bằng $R\sqrt{2}$, khi đó tứ giác $AMON$ sẽ trở thành hình vuông.

Tóm lại, để chứng minh một tam giác (hoặc diện tích) nhỏ nhất, bạn cần:

Thiết lập công thức diện tích theo một biến (thường là đoạn thẳng $OA$ hoặc số đo góc).
Sử dụng các bất đẳng thức (thường là AM-GM) hoặc khảo sát hàm số để tìm cực trị.
Xác định dấu bằng xảy ra để kết luận vị trí điểm $A$.