Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài toán bạn đã gửi:

---

### **Bài 1:**
**Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), \( BC = 10\,cm \), góc \( B = 25^\circ \). Kẻ đường cao \( AH \). Chứng minh: \( AH \times BC = AB \times AC \).**

**Giả thiết:**
- \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \).
- \( BC \) là cạnh huyền.
- \( \angle B = 25^\circ \).

**Bước 1:** Xác định các kích thước trong tam giác.

- Vì \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), theo định lý Pythagoras:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
- \( BC = 10\,cm \).

**Bước 2:** Sử dụng các góc và các quan hệ lượng giác.

- Trong \( \triangle ABC \), các góc:
\[ \angle B = 25^\circ \]
- Gọi \( \angle C = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \).

- Theo định lý lượng giác trong \( \triangle ABC \):
\[ AB = BC \times \sin B = 10 \times \sin 25^\circ \]
\[ AC = BC \times \sin C = 10 \times \sin 65^\circ \]

**Bước 3:** Chứng minh \( AH \times BC = AB \times AC \).

- Trong \( \triangle ABC \), kẻ đường cao \( AH \) từ \( A \) vuông góc với \( BC \).
- Theo tính chất của tam giác vuông và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ AH = AB \times \sin C = AC \times \sin B \]

- Như vậy,
\[ AH = AB \times \sin 65^\circ = AC \times \sin 25^\circ \]

- Nhân cả hai vế với \( BC \):
\[ AH \times BC = AB \times BC \times \sin 65^\circ \]
\[ = AC \times BC \times \sin 25^\circ \]

- Nhưng từ các quan hệ trên, ta có:
\[ AB = BC \times \sin 25^\circ \]
\[ AC = BC \times \sin 65^\circ \]

- Thay vào, ta có:
\[ AH \times BC = (BC \times \sin 25^\circ) \times BC = AB \times AC \]

**Vậy đúng:**
\[
AH \times BC = AB \times AC
\]

---

### **Bài 2:**
**Một kệ sách có 2 ngăn, trong đó ngăn dưới nhiều hơn ngăn trên 48 quyển sách. Nếu chuyển 21 quyển sách từ ngăn trên xuống ngăn dưới, đồng thời chuyển 15 quyển sách từ ngăn dưới lên ngăn trên thì lúc đó số sách ở ngăn dưới sẽ gấp 4 lần số sách ở ngăn trên. Hỏi ban đầu mỗi ngăn có bao nhiêu quyển sách?**

Gọi:
- \( x \): số quyển sách ban đầu ở ngăn trên.
- \( y \): số quyển sách ban đầu ở ngăn dưới.

**Theo đề bài:**
\[ y = x + 48 \]

Sau khi chuyển sách:
- Ngăn trên:
\[ x - 21 + 15 = x - 6 \]
- Ngăn dưới:
\[ y + 21 - 15 = y + 6 \]

**Điều kiện số sách tại thời điểm đó:**
\[ y + 6 = 4 (x - 6) \]

Thay \( y = x + 48 \):
\[ x + 48 + 6 = 4(x - 6) \]
\[ x + 54 = 4x - 24 \]

Giải phương trình:
\[ 54 + 24 = 4x - x \]
\[ 78 = 3x \]
\[ x = 26 \]

Vậy:
\[ y = x + 48 = 26 + 48 = 74 \]

**Kết luận:**
- Ngăn trên ban đầu có **26 quyển sách**.
- Ngăn dưới ban đầu có **74 quyển sách**.

---

### **Bài 3:**
**Một con thuyền muốn qua khúc sông. Do dòng nước chảy mạnh, con thuyền đi theo hướng tạo với dòng sông một góc \( 25^\circ \) trong thời gian 6 phút. Thuyền đi với vận tốc 3,5 km/h. Tính chiều rộng của sông (làm tròn đến mét).**

**Dữ liệu:**
- Góc tạo với dòng sông: \( 25^\circ \).
- Thời gian: \( t = 6 \) phút = \( \frac{6}{60} = 0,1 \) giờ.
- Vận tốc thuyền: \( v = 3,5\, \text{km/h} \).

**Bước 1:** Tính quãng đường thuyền đi được:
\[ S = v \times t = 3,5 \times 0,1 = 0,35\, \text{km} = 350\, \text{m} \]

**Bước 2:** Xác định hướng đi của thuyền.

- Thuyền đi theo hướng tạo góc \( 25^\circ \) với dòng sông, nghĩa là trục vận động của thuyền có thành phần vượt qua dòng sông theo hướng vuông góc với bờ sông.

- Chiều rộng sông chính là thành phần vuông góc của quãng đường đi:

\[ \text{Chiều rộng sông} = S \times \sin 25^\circ \]

**Bước 3:** Tính chiều rộng sông:
\[ \text{Chiều rộng} = 350 \times \sin 25^\circ \]

Tính \( \sin 25^\circ \approx 0,4226 \):

\[ \text{Chiều rộng} \approx 350 \times 0,4226 \approx 147,9\, \text{m} \]

**Làm tròn đến mét:**
\[ \boxed{148\, \text{m}} \]

---

**Tóm tắt kết quả:**
1. \( \triangle ABC \) đã chứng minh \( AH \times BC = AB \times AC \).
2. Ban đầu, ngăn trên có **26 quyển sách**, ngăn dưới có **74 quyển sách**.
3. Chiều rộng của sông là **148 mét**.

Nếu cần thêm lời giải hoặc giải thích, bạn cứ hỏi nhé!