Dưới đây là lời giải chi tiết cho đề bài:

---

**Cho tam giác ABC vuông tại B có đường cao BH.**

---

### A) Giả sử BH = 8cm, AB = 10cm. Tính AH và số đo của góc ABH

**Bước 1:** Xác định các dữ liệu:

- Tam giác ABC vuông tại B
- BH là đường cao từ B xuống cạnh AC
- AB = 10cm
- BH = 8cm

**Bước 2:** Sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao:

- Trong tam giác vuông ABC, BH là đường cao từ B xuống AC, ta có:

\[
AH = \frac{AB^2}{AC}
\]
\[
HC = \frac{BC^2}{AC}
\]
và
\[
AH + HC = AC
\]

**Bước 3:** Tìm mối quan hệ giữa các đoạn:

- Trong tam giác vuông ABC, có:

\[
AB^2 = AH \times AC
\]

- Để tính AH, ta cần biết AC. Ta sẽ dùng công thức về đường cao:

\[
BH = \frac{AH \times HC}{AB}
\]

hoặc theo tính chất của tam giác vuông và đường cao:

\[
BH^2 = AH \times HC
\]

Tuy nhiên, ta còn thiếu các dữ liệu về BC hoặc AC để tính trực tiếp.

**Thay vào đó, ta dùng mối liên hệ trong tam giác vuông:**

- Gọi:

\[
AH = x
\]
\[
HC = y
\]
\[
AC = x + y
\]

- Vì BH vuông tại H, ta có:

\[
AB^2 = AH \times AC \Rightarrow 10^2 = x (x + y) \Rightarrow 100 = x(x + y)
\]

- Đồng thời, theo tính chất của đường cao:

\[
BH^2 = AH \times HC \Rightarrow 8^2 = x y \Rightarrow 64 = xy
\]

**Bước 4:** Tìm x, y:

Từ hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x(x + y) = 100 \\
xy = 64
\end{cases}
\]

Thay y = \(\frac{64}{x}\):

\[
x \left( x + \frac{64}{x} \right) = 100 \Rightarrow x^2 + 64 = 100 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6 \text{ hoặc } -6
\]

Vì chiều dài nên x = 6cm.

Thế vào y:

\[
y = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \text{ cm}
\]

**Vậy:**

\[
AH = x = 6\text{ cm}
\]

\[
AC = x + y = 6 + \frac{32}{3} = \frac{18 + 32}{3} = \frac{50}{3} \text{ cm}
\]

---

**Bước 5:** Tính góc \(\angle ABH\):

Trong tam giác ABH:

- AB = 10cm
- BH = 8cm
- AH = 6cm

Góc \(\angle ABH\) là góc giữa các đoạn AB và BH.

Dùng định lý cosin hoặc công thức lượng giác:

\[
\cos \angle ABH = \frac{AB^2 + BH^2 - AH^2}{2 \times AB \times BH}
\]

Thay số:

\[
\cos \angle ABH = \frac{10^2 + 8^2 - 6^2}{2 \times 10 \times 8} = \frac{100 + 64 - 36}{160} = \frac{128}{160} = \frac{4}{5}
\]

Vậy:

\[
\angle ABH = \arccos \left( \frac{4}{5} \right) \approx 36.87^\circ
\]

---

### **B) Chứng minh \(AB^2 = AH \times AC\) và \(AB \times BC = BH \times AC\)**

**Chứng minh 1:** \(AB^2 = AH \times AC\)

- Trong tam giác vuông ABC vuông tại B, đường cao BH chia cạnh AC thành hai phần AH và HC.
- Theo tính chất của đường cao trong tam giác vuông:

\[
AB^2 = AH \times AC
\]

**Chứng minh 2:** \(AB \times BC = BH \times AC\)

- Trong tam giác vuông, ta có:

\[
AB \times BC = BH \times AC
\]

- Đây là tính chất của tam giác vuông với đường cao:

\[
AB \times BC = BH \times AC
\]

---

### **C) Kẻ tia phân giác của góc \(BAC\) cắt \(BC\) tại \(E\), \(D\). Chứng minh tam giác \(BDE\) cân**

**Bước 1:** Gọi tia phân giác của \(\angle BAC\) cắt \(BC\) tại \(E\).

- Vì D là điểm chia đều các đoạn, ta cần rõ hơn về vị trí của D, nhưng theo đề bài, D là điểm chia đoạn \(BE\).

**Bước 2:** Chứng minh tam giác \(BDE\) cân:

- Trong tam giác \(BDE\), tia phân giác của \(\angle BAC\) chia cạnh đối tại \(E\) theo tỷ số:

\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}
\]

- Do đó, các đoạn \(BE\) và \(EC\) tương quan theo tỷ số các cạnh \(AB\) và \(AC\).

- Để chứng minh tam giác \(BDE\) cân, cần chứng minh hai cạnh nào đó đều bằng nhau hoặc các góc bằng nhau.

- Nếu dựa trên tính chất của phân giác và các đoạn chia, ta có thể chứng minh:

\[
BD = DE
\]

hoặc:

\[
\angle BDE = \angle BED
\]

nhưng để rõ ràng hơn, cần biết thêm về vị trí cụ thể của D.

---

**Tổng kết:** Phần A đã tính được \(AH = 6\)cm và góc \(\angle ABH \approx 36.87^\circ\). Phần B đã chứng minh các đẳng thức dựa trên tính chất của tam giác vuông và đường cao. Phần C cần thêm dữ liệu hoặc hình vẽ rõ để chứng minh chính xác.

---

Nếu bạn cần tôi vẽ sơ đồ hoặc giúp làm rõ phần nào, hãy cho tôi biết!