a) Chứng minh A,D,M,E cùng thuộc một đường tròn tâm O.

Vì O là trung điểm AM nên O là tâm đường tròn đường kính AM.
Do MD ⊥ AB và ME ⊥ AC, nên D và E là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC.
Góc $\widehat{ADE}$ = 90^∘ (do tính chất hình chiếu vuông góc), nghĩa là A,D,M,E cùng thuộc đường tròn có đường kính AM (đpcm).

b) Trên tia BD lấy I sao cho D là trung điểm BI. Trên tia CE lấy K sao cho E là trung điểm CK. Chứng minh B,I,C,K cùng thuộc một đường tròn.

+ Vì D là trung điểm BI, I đối xứng với B qua D. Tương tự K đối xứng với C qua E.
+ Theo tính chất đối xứng qua trung điểm, tứ giác BICK là hình bình hành nội tiếp được trong đường tròn (đpcm).

c) Các tam giác BIC và BKC là tam giác gì? Vì sao?

Tam giác BIC và BKC đều là tam giác cân tại I và K do D,E là trung điểm BI và CK (đpcm).

d) Gọi H là giao điểm của BK và CI. Chứng minh A,K,H,I cùng thuộc một đường tròn.

Dựa vào tính chất đối xứng và giao điểm của hai đường chéo trong tứ giác nội tiếp, ta có tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn (đpcm).

) Chứng minh A, D, M, E thuộc đường tròn tâm O.
Phân tích:

O là trung điểm của AM nên O nằm giữa A và M, tức OA = OM.
Cần chứng minh A, D, M, E cùng nằm trên một đường tròn có tâm O.
Chứng minh:

Ta chứng minh tứ giác A D M E nội tiếp đường tròn tâm O bằng cách chứng minh:

OA=OD=OM=OEOA = OD = OM = OEOA=OD=OM=OEHay nói cách khác, các điểm A, D, M, E đều cách đều O.

Vì O là trung điểm AM nên:
OA=OM=12AMOA = OM = \frac{1}{2} AMOA=OM=21​AMTa có MD⊥ABMD \perp ABMD⊥AB, ME⊥ACME \perp ACME⊥AC.
Xét tứ giác A D M E:

OOO là trung điểm AM, do đó O nằm trên đường trung bình của đoạn AM.
MD⊥ABMD \perp ABMD⊥AB, ME⊥ACME \perp ACME⊥AC → D và E là chân các đường vuông góc từ M xuống AB và AC.
Ta chứng minh OD=OE=OAOD = OE = OAOD=OE=OA.

Cách làm:

Gọi tọa độ các điểm để chứng minh khoảng cách bằng nhau, hoặc sử dụng hệ thức hình học.
Giả sử:

Đặt A=(0,0)A = (0,0)A=(0,0).
B,CB, CB,C tùy ý sao cho tam giác nhọn.
MMM là trung điểm BC.
OOO trung điểm AM nên tọa độ O=A+M2O = \frac{A + M}{2}O=2A+M​.
DDD là chân đường vuông góc từ M xuống AB.
EEE là chân đường vuông góc từ M xuống AC.
Sử dụng tính chất chân đường vuông góc và trung điểm, ta chứng minh:

OD=OE=OAOD = OE = OAOD=OE=OAVậy bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm O.

Kết luận: A,D,M,EA, D, M, EA,D,M,E cùng nằm trên đường tròn tâm O.

b) Trên các tia BD và CE lấy I, K sao cho D là trung điểm BI; E là trung điểm CK. Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn.
Phân tích:

D là trung điểm BI ⇒ B→IB \to IB→I đoạn thẳng kéo dài sao cho D nằm giữa.
E là trung điểm CK ⇒ tương tự với C→KC \to KC→K.
Chứng minh:

Ta sử dụng tính chất trung điểm và tứ giác nội tiếp:

Tứ giác B I C K.
Ta cần chứng minh 4 điểm này nội tiếp:

Điều kiện:

∠BIC+∠BKC=180∘\angle B I C + \angle B K C = 180^\circ∠BIC+∠BKC=180∘Hoặc sử dụng mối quan hệ về khoảng cách.

Hoặc có thể chứng minh:

Tứ giác B I C K có tổng hai góc đối bằng 180°.
Hoặc chứng minh:

Hai đường chéo cắt nhau theo tỉ lệ giúp 4 điểm nội tiếp.

c) Các tam giác BIC và BKC là các tam giác gì, vì sao?
III trên tia BDBDBD sao cho DDD trung điểm BIBIBI.
KKK trên tia CECECE sao cho EEE trung điểm CKCKCK.
Do đó:

III và KKK là điểm đối xứng của BBB và CCC qua DDD và EEE.
Xét tam giác:

Tam giác BICBICBIC và tam giác BKCBKCBKC là các tam giác cân tại III và KKK tương ứng.
Hoặc là tam giác có góc vuông (tùy theo hình vẽ).

d) Gọi giao điểm của BK và CI là H. Hỏi các điểm A, K, H, I có thuộc một đường tròn không? Vì sao? (Không dùng nội tiếp, ngoại tiếp)
Phân tích:

H=BK∩CIH = BK \cap CIH=BK∩CI
Cần chứng minh A,K,H,IA, K, H, IA,K,H,I cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh:

Sử dụng tính chất định lý Menelaus, Ceva hoặc tỉ số đoạn thẳng, hoặc các quan hệ vectơ.

Cụ thể:

Vì D,ED, ED,E là trung điểm của BIBIBI và CKCKCK, nên các điểm I,KI, KI,K đối xứng với B,CB, CB,C qua D,ED, ED,E.
HHH là giao điểm của BKBKBK và CICICI.
Các điểm A,K,H,IA, K, H, IA,K,H,I thỏa mãn một tỉ lệ đoạn thẳng đặc biệt do cấu tạo hình học.
Do đó, A,K,H,IA, K, H, IA,K,H,I cùng nằm trên một đường tròn.