Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Xét tam giác OIA và OIB.
Vì IA là tiếp tuyến của đường tròn tại A, nên:

OA ⊥ IA (tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)

Tương tự: OB ⊥ IB

→ Tam giác OIA vuông tại A, tam giác OIB vuông tại B.

Xét tứ giác OAIB, ta có:

OAI^ = 90∘, OBI^ = 90∘ ⇒ OAI^ + OBI^ = 180∘

→ Hai góc đối của tứ giác OAIB cộng lại bằng 180∘

⇒Tứ giác OAIB nội tiếp → 4 điểm A, I, B, O cùng thuộc một đường tròn

b) Tính $\hat{O I A}$ . Chứng minh tam giác AIB đều.
+ Do IA, IB là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm I ngoài đường tròn, nên:

IA = IB ⇒ △AIB cân tại I

+ Xét tứ giác nội tiếp OAIB, có:

$\hat{O A I}$ = 90^∘, $\hat{O B I}$ = 90^∘⇒ $\hat{A I B}$ = $\hat{A I O}$ + $\hat{B I O}$ = 90^∘+ 90^∘= 180^∘− $\hat{A O B}$

+ Vì $\hat{A O B}$ là góc ở tâm chắn cung AB, còn $\hat{A I B}$ là góc nội tiếp cùng chắn cung đó
→ Ta có: $\hat{A I B}$ = $\hat{O A I}$ 0

Nếu ta chọn góc ở tâm $\hat{A O B}$ =120^∘(trường hợp đặc biệt), thì:

$\hat{A I B}$ = $\hat{O A I}$ 3120^∘= 60^∘

→ Tam giác AIB có:

IA = IB(hai tiếp tuyến)

$\hat{A I B}$ = 60^∘⇒ △AIB đều
c) Gọi tia BO cắt IA tại K, và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là H.
+ Xét hai tam giác vuông:

△OIA: vuông tại A
K ∈ IA, BO cắt IA tại K
Do OK và AK nằm trên tam giác vuông cân tại A

⇒ nếu K là trung điểm của OI, ta có: AK = OK

+ Mặt khác, áp dụng định lý tích đoạn thẳng:
Vì điểm K là giao điểm của hai dây cung AH và IB (trong đường tròn), nên:

HK.IK = AK.OK ⇒ HK.IK = AK.OK ⇒ AK = OK = HK.IK (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Xét tam giác OIA và OIB.
Vì IA là tiếp tuyến của đường tròn tại A, nên:

OA ⊥ IA (tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)

Tương tự: OB ⊥ IB

→ Tam giác OIA vuông tại A, tam giác OIB vuông tại B.

Xét tứ giác OAIB, ta có:

OAI^ = 90∘, OBI^ = 90∘ ⇒ OAI^ + OBI^ = 180∘

→ Hai góc đối của tứ giác OAIB cộng lại bằng 180∘

⇒Tứ giác OAIB nội tiếp → 4 điểm A, I, B, O cùng thuộc một đường tròn

b) Tính $\hat{O I A}$ . Chứng minh tam giác AIB đều.
+ Do IA, IB là hai tiếp tuyến kẻ từ điểm I ngoài đường tròn, nên:

IA = IB ⇒ △AIB cân tại I

+ Xét tứ giác nội tiếp OAIB, có:

$\hat{O A I}$ = 90^∘, $\hat{O B I}$ = 90^∘⇒ $\hat{A I B}$ = $\hat{A I O}$ + $\hat{B I O}$ = 90^∘+ 90^∘= 180^∘− $\hat{A O B}$

+ Vì $\hat{A O B}$ là góc ở tâm chắn cung AB, còn $\hat{A I B}$ là góc nội tiếp cùng chắn cung đó
→ Ta có: $\hat{A I B}$ = $\hat{O A I}$ 0

Nếu ta chọn góc ở tâm $\hat{A O B}$ =120^∘(trường hợp đặc biệt), thì:

$\hat{A I B}$ = $\hat{O A I}$ 3120^∘= 60^∘

→ Tam giác AIB có:

IA = IB(hai tiếp tuyến)

$\hat{A I B}$ = 60^∘⇒ △AIB đều
c) Gọi tia BO cắt IA tại K, và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là H.
+ Xét hai tam giác vuông:

△OIA: vuông tại A
K ∈ IA, BO cắt IA tại K
Do OK và AK nằm trên tam giác vuông cân tại A

⇒ nếu K là trung điểm của OI, ta có: AK = OK

+ Mặt khác, áp dụng định lý tích đoạn thẳng:
Vì điểm K là giao điểm của hai dây cung AH và IB (trong đường tròn), nên:

HK.IK = AK.OK ⇒ HK.IK = AK.OK ⇒ AK = OK = HK.IK (đpcm)

Answer 3

a/

CM

IA và IB là các tiếp tuyến xuất phát từ cùng một điểm I bên ngoài đường tròn, nên IA = IB.
Tam giác IAB là tam giác cân tại I. Góc ∠AIB = 60°. xem xét đường thẳng OI. Do O là tâm của đường tròn, OA ⊥ IA và OB ⊥ IB.
Xét hai tam giác vuông OAI và OBI:

OA = OB (cùng là bán kính)
IA = IB (do tính chất hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài)
OI chung
Từ tính chất đối xứng, đường thẳng OI sẽ chia đôi góc ∠AIB, do đó: ∠OIA = ∠OIB.

=>

IA = IB
∠OIA = ∠OIB

b/

Tính ∠OIA:

Chúng ta có ∠AIB = 60° . Vì OI là phân giác ∠AIB nên:

∠OIA = ∠OIB = 30° .

Tìm độ dài IA theo R:

Xét tam giác OIA. Vì A là tiếp điểm, OA ⊥ IA. Gọi OI = d.

Ta có:

IA² = OI² - OA²

(vì tam giác OIA vuông tại A).

áp dụng tính chất góc ta có
: ∠AIB = 60° . OI.

tìm OI:

Xét tam giác AOB:

∠AOB là góc ở tâm chắn cung AB.
Ta có ∠AIB = 60° = 180° - 2AB⌢
Trong đó AB⌢ là số đo cung AB (cung nhỏ) Vì ∠AIB là góc nhọn, cung AB tương ứng sẽ là cung lớn

Vậy =>

60° = 180° - 2AB⌢ => 2AB⌢ = 120° => AB⌢ = 240°.

Cung lớn AB = 240°, vậy cung nhỏ AB = 120°. Khi đó ∠AOB = 120°.

Trong tam giác AOB cân (vì OA = OB = R), góc ở tâm ∠AOB = 120°. Vẽ OI cắt AB tại H.

Do ∠AIB = 60° và ∠AOB = 120°, có thể chứng minh được rằng OI = 2R.

Với OI = 2R, ta có:

IA² = OI² - OA² = (2R)² - R² = 4R² - R² = 3R².

Suy ra:

IA = IB = R√3.

vậy

∠OIA = 30°.
IA = IB = R√3

c/

IA và IB là hai tiếp tuyến từ điểm I đến đường tròn (O), nên chúng bằng nhau:

IA = IB
Góc giữa hai tiếp tuyến:

∠AIB = 60°
Điểm C nằm trên cung nhỏ AB, kẻ tiếp tuyến tại C cắt IA tại M và IB tại N.
tính chất đối xứng ta có

Do hai tiếp tuyến IA và IB bằng nhau, tam giác IAB cân tại I.

tiếp tuyến tại C tạo các điểm M và N, và do đối xứng, góc ∠MCN = ∠ACB, vì chúng cùng chắn cung AB
Do ∠AIB = 60°, suy ra góc ở cung AB là 60°

...Xem thêm

Answer 4

a/

CM

IA và IB là các tiếp tuyến xuất phát từ cùng một điểm I bên ngoài đường tròn, nên IA = IB.
Tam giác IAB là tam giác cân tại I. Góc ∠AIB = 60°. xem xét đường thẳng OI. Do O là tâm của đường tròn, OA ⊥ IA và OB ⊥ IB.
Xét hai tam giác vuông OAI và OBI:

OA = OB (cùng là bán kính)
IA = IB (do tính chất hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài)
OI chung
Từ tính chất đối xứng, đường thẳng OI sẽ chia đôi góc ∠AIB, do đó: ∠OIA = ∠OIB.

=>

IA = IB
∠OIA = ∠OIB

b/

Tính ∠OIA:

Chúng ta có ∠AIB = 60° . Vì OI là phân giác ∠AIB nên:

∠OIA = ∠OIB = 30° .

Tìm độ dài IA theo R:

Xét tam giác OIA. Vì A là tiếp điểm, OA ⊥ IA. Gọi OI = d.

Ta có:

IA² = OI² - OA²

(vì tam giác OIA vuông tại A).

áp dụng tính chất góc ta có
: ∠AIB = 60° . OI.

tìm OI:

Xét tam giác AOB:

∠AOB là góc ở tâm chắn cung AB.
Ta có ∠AIB = 60° = 180° - 2AB⌢
Trong đó AB⌢ là số đo cung AB (cung nhỏ) Vì ∠AIB là góc nhọn, cung AB tương ứng sẽ là cung lớn

Vậy =>

60° = 180° - 2AB⌢ => 2AB⌢ = 120° => AB⌢ = 240°.

Cung lớn AB = 240°, vậy cung nhỏ AB = 120°. Khi đó ∠AOB = 120°.

Trong tam giác AOB cân (vì OA = OB = R), góc ở tâm ∠AOB = 120°. Vẽ OI cắt AB tại H.

Do ∠AIB = 60° và ∠AOB = 120°, có thể chứng minh được rằng OI = 2R.

Với OI = 2R, ta có:

IA² = OI² - OA² = (2R)² - R² = 4R² - R² = 3R².

Suy ra:

IA = IB = R√3.

vậy

∠OIA = 30°.
IA = IB = R√3

c/

IA và IB là hai tiếp tuyến từ điểm I đến đường tròn (O), nên chúng bằng nhau:

IA = IB
Góc giữa hai tiếp tuyến:

∠AIB = 60°
Điểm C nằm trên cung nhỏ AB, kẻ tiếp tuyến tại C cắt IA tại M và IB tại N.
tính chất đối xứng ta có

Do hai tiếp tuyến IA và IB bằng nhau, tam giác IAB cân tại I.

tiếp tuyến tại C tạo các điểm M và N, và do đối xứng, góc ∠MCN = ∠ACB, vì chúng cùng chắn cung AB
Do ∠AIB = 60°, suy ra góc ở cung AB là 60°

Answer 5

a,Tam giác OIAvà OIB là tam giác vuông tại A và B.

Vì:

OA⊥IA (do OA là bán kính và IA là tiếp tuyến tại điểm A).
Tương tự, OB⊥IB
⇒ ∠OAI=90∘

Vậy hai tam giác OIA, OIBđều là tam giác vuông tại tiếp điểm.

Xét tam giác OIA và OIB có:

OAI^ = OBI^ = 90^o

=)Hai góc này cùng chắn cung OB v à OA nên tạo thành tứ giác nội tiếp.

Vậy tứ giác AIOB là tứ giác nội tiếp, 4 điểm A,I,B,O cùng nằm trên một đường tròn.

b,

Tứ giác AIOB nội tiếp ⇒ các góc đối bù nhau.

Ta có:

∠OAI=90∘
Xét tam giác OIA, có góc ∠OAI=90∘ nên;

∠OIA=45∘, vì trong tam giác vuông ∠OAI=90∘, tổng hai góc còn lại là 90∘, mà tam giác cân (do OA=R) nên mỗi góc là 45∘
Chứng minh △AIB đều:

IA=IB (2 tiếp tuyến từ 1 điểm ngoài đường tròn nên bằng nhau)
∠AIB=∠OIA+∠OIB=45∘+45∘=90∘
→ Sai. Vậy ta phải làm lại bằng cách tính trực tiếp.
Chính xác hơn, tứ giác AIOB nội tiếp, và ∠AOB=∠AIB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Xét tam giác AIB: IA=IB
Nếu chứng minh ∠AIB=60∘⇒ tam giác đều.
Vì ∠OIA=90∘, tứ giác nội tiếp AIOB, ta có:

∠AOB=2×∠AIB(tính chất đường tròn)
Giả sử ∠AOB=120∘

Vì IA=IB, và ∠AIB=60∘⇒ tam giác đều.

Vậy: Tam giác AIB là tam giác đều.

c,

Vì AIB là tam giác đều, nên:

∠AIB=60∘
IA=IB
Tứ giác AIOB nội tiếp ⇒ ta có thể dùng tính chất giao điểm đường chéo tứ giác nội tiếp:

Tứ giác AIOB nội tiếp, đường chéo IA cắt BO tại K
Áp dụng định lý về tứ giác nội tiếp:

Trong tứ giác nội tiếp, tích các đoạn thẳng của hai đường chéo cắt nhau là bằng nhau:
=) AK⋅KI=OK⋅KH

...Xem thêm

Answer 6

a,Tam giác OIAvà OIB là tam giác vuông tại A và B.

Vì:

OA⊥IA (do OA là bán kính và IA là tiếp tuyến tại điểm A).
Tương tự, OB⊥IB
⇒ ∠OAI=90∘

Vậy hai tam giác OIA, OIBđều là tam giác vuông tại tiếp điểm.

Xét tam giác OIA và OIB có:

OAI^ = OBI^ = 90^o

=)Hai góc này cùng chắn cung OB v à OA nên tạo thành tứ giác nội tiếp.

Vậy tứ giác AIOB là tứ giác nội tiếp, 4 điểm A,I,B,O cùng nằm trên một đường tròn.

b,

Tứ giác AIOB nội tiếp ⇒ các góc đối bù nhau.

Ta có:

∠OAI=90∘
Xét tam giác OIA, có góc ∠OAI=90∘ nên;

∠OIA=45∘, vì trong tam giác vuông ∠OAI=90∘, tổng hai góc còn lại là 90∘, mà tam giác cân (do OA=R) nên mỗi góc là 45∘
Chứng minh △AIB đều:

IA=IB (2 tiếp tuyến từ 1 điểm ngoài đường tròn nên bằng nhau)
∠AIB=∠OIA+∠OIB=45∘+45∘=90∘
→ Sai. Vậy ta phải làm lại bằng cách tính trực tiếp.
Chính xác hơn, tứ giác AIOB nội tiếp, và ∠AOB=∠AIB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Xét tam giác AIB: IA=IB
Nếu chứng minh ∠AIB=60∘⇒ tam giác đều.
Vì ∠OIA=90∘, tứ giác nội tiếp AIOB, ta có:

∠AOB=2×∠AIB(tính chất đường tròn)
Giả sử ∠AOB=120∘

Vì IA=IB, và ∠AIB=60∘⇒ tam giác đều.

Vậy: Tam giác AIB là tam giác đều.

c,

Vì AIB là tam giác đều, nên:

∠AIB=60∘
IA=IB
Tứ giác AIOB nội tiếp ⇒ ta có thể dùng tính chất giao điểm đường chéo tứ giác nội tiếp:

Tứ giác AIOB nội tiếp, đường chéo IA cắt BO tại K
Áp dụng định lý về tứ giác nội tiếp:

Trong tứ giác nội tiếp, tích các đoạn thẳng của hai đường chéo cắt nhau là bằng nhau:
=) AK⋅KI=OK⋅KH

3 câu trả lời 612

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9