a) Chứng minh $\widehat{ACB}$ = 90^∘ và tính BC
Vì AB là đường kính của đường tròn (O) nên theo định lý góc nội tiếp chắn nửa đường tròn:
$\widehat{ACB}$ = 90^∘

​Do đó tam giác ACB vuông tại C.
Ta có AC = R (giả thiết), AB = 2R.
Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác vuông ACB:

BC² = AB² − AC² = (2R)² − R² = 4R² − R² =3R²

=> BC = R$\sqrt{3}$

Để xử lý các bài toán bạn đưa ra, ta sẽ làm theo thứ tự và làm rõ các công thức cơ bản liên quan tới đường tròn nội tiếp (incenter) và ngoại tiếp (circumcircle) của tam giác, rồi áp dụng vào từng trường hợp.

Phần A. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính bán kính đường tròn nội tiếp (gọi là r).

Độ dài cạnh:

AB = 6
AC = 8
BC = √(AB^2 + AC^2) = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có công thức: r = A / s, với A là diện tích tam giác, s là bán kính nửa chu vi (bán chu vi) hay nói cách khác r = Δ / s, nơi s = (a + b + c)/2 (nửa chu vi).

Chu vi c = AB + AC + BC = 6 + 8 + 10 = 24 cm.
S = c/2 = 12 cm.
Diện tích A của tam giác vuông là (1/2) * AB * AC = (1/2) * 6 * 8 = 24 cm².
Do đó r = A / S = 24 / 12 = 2 cm.
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 cm.

Phần B. Tam giác ABC cân tại A với AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Gọi o là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp (circumradius R).

Vì tam giác cân tại A nên cạnh đáy BC có BC = 10, hai cạnh AB = AC = 13.
Ta dùng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = a b c / (4Δ), với a, b, c là độ dài ba cạnh và Δ là diện tích tam giác. Hoặc ta dùng công thức cho tam giác cân: R = a^2 / (2√(a^2 − (b/2)^2)) nếu áp dụng cho một số trường hợp. Nhưng ở đây ta tính trực tiếp bằng công thức chung.
Tính diện tích Δ của tam giác ABC giữa hai cạnh đáy và hai bên: Chiều cao h từ A đến BC: trong tam giác cân, h = √(AB^2 − (BC/2)^2) = √(13^2 − 5^2) = √(169 − 25) = √144 = 12. Diện tích Δ = (1/2) * BC * h = (1/2) * 10 * 12 = 60 cm².
Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = (a b c) / (4 Δ) = (AB * AC * BC) / (4 Δ) = (13 * 13 * 10) / (4 * 60) = (1690) / 240 = 169 / 24 ≈ 7.041666... R = 169/24 cm.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 169/24 cm ≈ 7.042 cm.

Phần C. Cho đường tròn (o) bán kính R, đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho AC = R. Gọi I là trung điểm của AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. CMR.

Yêu cầu ở phần C có vẻ phức tạp và mô tả không đầy đủ ngữ cảnh, đặc biệt các ký hiệu như "đường thẳng OI" (O là tâm đường tròn O?), "tiếp tuyến Ax" tại A hay tại X không rõ, cũng như ký hiệu X và M. Tuy nhiên ta có một số giả thiết hợp lý để tiếp cận:
Giả thiết 1: (o) là đường tròn cho tâm O và bán kính R. Đường kính AB nghĩa là A và B đối xứng qua O và AB = 2R hoặc AB là một đường kính của đường tròn (o). Tuy nhiên, ở bài này AB được cho là đường kính, nên AB = 2R. Với AC được cho bằng AC = R.

Giả thiết 2: I là trung điểm của AC.

Giả thiết 3: Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (o) tại M (tức M là giao điểm của đường thẳng qua O và I với tia tiếp tuyến Ax tại A). Tuy vậy, Ax là tiếp tuyến tại A có độ dốc nhất định.

CMR (Có nghĩa là "chứng minh" hoặc "Cần chứng minh"). Vì nội dung chưa đủ để xác định vị trí và các mối quan hệ cụ thể, tôi đề xuất bạn xác nhận hoặc cung cấp thêm chi tiết cho phần C, ví dụ:

Tọa độ hoặc vị trí của A, B trong đường tròn (o): AB là đường kính nên A và B đối xứng qua O, với OA = OB = R và AB = 2R.
Xem Ax là tiếp tuyến tại A của đường tròn (o) và M là giao điểm của đường thẳng OI với tiếp tuyến tại A.
Mục tiêu: chứng minh gì? Ví dụ: đường thẳng DM là tia phân giác của ∠CDA (nếu D là gì? C và D liên quan thế nào?). Hay MC là tiếp tuyến của đường tròn (o) tại C? (c có thể là MC là tiếp tuyến của đường tròn (o) tại C).
Nếu bạn có bổ sung:

Tên đầy đủ các điểm D, X, O, M, C, và các mối quan hệ giữa chúng,
Hoặc đưa ra sơ đồ/điểm gốc (ví dụ: đặt O ở gốc tọa độ, đường tròn (o) có bán kính R và AB là đường kính nằm trên trục x), mình sẽ giúp bạn làm rõ từng câu a, b, c và chứng minh tương ứng một cách chi tiết, kèm công thức và lời giải đầy đủ.
Bạn có thể cho mình xác nhận lại phần C hoặc cung cấp thêm dữ liệu được không?