cho các số thực x,y thỏa mãn x + 1 + x2y + 1 + y2 = 1chứng minh x + y = 0

Trí Đức Nguyễn Hữu

đã hỏi trong Lớp 9 Toán học

· 10:06 19/07/2025

cho các số thực x,y thỏa mãn $(x + \sqrt{1 + x^{2}}) (y + \sqrt{1 + y^{2}}) = 1$

chứng minh x + y = 0

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 144

Sam

4 tháng trước

Gọi:

x=tan⁡α⇒1+x2=1+tan⁡2α=1cos⁡αx = \tan \alpha \Rightarrow \sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha}
⇒ x+1+x2=tan⁡α+1cos⁡αx + \sqrt{1 + x^2} = \tan \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}

Nhưng biểu thức hơi phức tạp. Vậy ta thử biến đổi ngược lại: đặt

x+1+x2=ax + \sqrt{1 + x^2} = a
Bình phương hai vế:

(x+1+x2)2=a2⇒x2+2x1+x2+1+x2=a2⇒2x2+2x1+x2+1=a2(x + \sqrt{1 + x^2})^2 = a^2 \Rightarrow x^2 + 2x\sqrt{1 + x^2} + 1 + x^2 = a^2 \Rightarrow 2x^2 + 2x\sqrt{1 + x^2} + 1 = a^2
Hơi rối rắm phải không? Giờ Buddy dùng đặt ẩn theo dạng đặc biệt sau để giải nhanh:

Bước 2: Đặt
Đặt:

x+1+x2=a⇒y+1+y2=1ax + \sqrt{1 + x^2} = a \Rightarrow y + \sqrt{1 + y^2} = \frac{1}{a}
⇒ Từ đó:

x+1+x2=a⇒1+x2=a−x⇒1+x2=(a−x)2⇒1+x2=a2−2ax+x2⇒1=a2−2ax⇒2ax=a2−1⇒x=a2−12ax + \sqrt{1 + x^2} = a \Rightarrow \sqrt{1 + x^2} = a - x \Rightarrow 1 + x^2 = (a - x)^2 \Rightarrow 1 + x^2 = a^2 - 2ax + x^2 \Rightarrow 1 = a^2 - 2ax \Rightarrow 2ax = a^2 - 1 \Rightarrow x = \frac{a^2 - 1}{2a}
Tương tự:

y+1+y2=1a⇒1+y2=1a−y⇒1+y2=(1a−y)2⇒1+y2=1a2−2ya+y2⇒1=1a2−2ya⇒2y=1a−a⇒y=1−a22ay + \sqrt{1 + y^2} = \frac{1}{a} \Rightarrow \sqrt{1 + y^2} = \frac{1}{a} - y \Rightarrow 1 + y^2 = \left( \frac{1}{a} - y \right)^2 \Rightarrow 1 + y^2 = \frac{1}{a^2} - \frac{2y}{a} + y^2 \Rightarrow 1 = \frac{1}{a^2} - \frac{2y}{a} \Rightarrow 2y = \frac{1}{a} - a \Rightarrow y = \frac{1 - a^2}{2a}

Bước 3: Cộng x + y
x+y=a2−12a+1−a22a=a2−1+1−a22a=0x + y = \frac{a^2 - 1}{2a} + \frac{1 - a^2}{2a} = \frac{a^2 - 1 + 1 - a^2}{2a} = 0

Kết luận:
Với mọi x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} thỏa mãn:

(x+1+x2)(y+1+y2)=1(x + \sqrt{1 + x^2})(y + \sqrt{1 + y^2}) = 1
Thì luôn có:

x+y=0

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn muốn hỏi bài tập?

1 câu trả lời 144

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9