### **a) Phân tích đa thức \( x^4 + x^3 - x^2 - 3x - 6 \) thành nhân tử**

**Bước 1: Kiểm tra nghiệm hữu tỉ**
Theo định lý nghiệm hữu tỉ, các nghiệm có thể là \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Thử \( x = 1 \):
\( 1 + 1 - 1 - 3 - 6 = -8 \neq 0 \) ⇒ Không là nghiệm.
Thử \( x = -1 \):
\( 1 - 1 - 1 + 3 - 6 = -4 \neq 0 \) ⇒ Không là nghiệm.
Thử \( x = 2 \):
\( 16 + 8 - 4 - 6 - 6 = 8 \neq 0 \) ⇒ Không là nghiệm.
Thử \( x = -2 \):
\( 16 - 8 - 4 + 6 - 6 = 4 \neq 0 \) ⇒ Không là nghiệm.

**Bước 2: Nhóm hạng tử**
Ta thử nhóm các hạng tử để tạo nhân tử chung:
\[
x^4 + x^3 - x^2 - 3x - 6 = (x^4 + x^3) - (x^2 + 3x + 6)
\]
\[
= x^3(x + 1) - (x^2 + 3x + 6)
\]
Không phân tích được tiếp, nên ta thử phương pháp khác.

**Bước 3: Thêm bớt hạng tử**
Thêm \( x^2 \) và bớt \( x^2 \):
\[
x^4 + x^3 - x^2 - 3x - 6 = (x^4 + x^3 + x^2) - (2x^2 + 3x + 6)
\]
\[
= x^2(x^2 + x + 1) - (2x^2 + 3x + 6)
\]
Vẫn không phân tích được.

**Bước 4: Phương pháp hệ số bất định**
Giả sử đa thức phân tích được thành:
\[
(x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d)
\]
Khai triển và đồng nhất hệ số:
\[
x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd
\]
Đồng nhất với đa thức ban đầu:
\[
\begin{cases}
a + c = 1 \\
ac + b + d = -1 \\
ad + bc = -3 \\
bd = -6
\end{cases}
\]
Giải hệ:
- \( bd = -6 \), các cặp \((b, d)\) có thể là \((1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3), (3, -2), (-3, 2), (6, -1), (-6, 1)\).
- Thử \( b = 2, d = -3 \):
\[
a + c = 1, \quad 2 - 3 + ac = -1 \Rightarrow ac = 0
\]
Nếu \( a = 0 \Rightarrow c = 1 \), kiểm tra \( ad + bc = 0 \cdot (-3) + 2 \cdot 1 = 2 \neq -3 \) (loại).
Nếu \( c = 0 \Rightarrow a = 1 \), kiểm tra \( 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 0 = -3 \) (thỏa mãn).

Vậy phân tích được:
\[
(x^2 + x + 2)(x^2 - 3)
\]

**Kết quả:**
\[
\boxed{(x^2 + x + 2)(x^2 - 3)}
\]

---

### **b) Phân tích đa thức \( x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 5x - 6 \) thành nhân tử**

**Bước 1: Kiểm tra nghiệm hữu tỉ**
Thử \( x = 1 \):
\( 1 + 5 + 5 - 5 - 6 = 0 \) ⇒ \( x = 1 \) là nghiệm.
⇒ Chia đa thức cho \( (x - 1) \):

**Bước 2: Chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Horner**
Dùng sơ đồ Horner:
```
1 | 1 5 5 -5 -6
| 1 6 11 6
-----------------------
1 6 11 6 0
```
⇒ Đa thức phân tích thành:
\[
(x - 1)(x^3 + 6x^2 + 11x + 6)
\]

**Bước 3: Phân tích tiếp \( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \)**
Thử \( x = -1 \):
\( -1 + 6 - 11 + 6 = 0 \) ⇒ \( x = -1 \) là nghiệm.
Chia \( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \) cho \( (x + 1) \):
Dùng sơ đồ Horner:
```
-1 | 1 6 11 6
| -1 -5 -6
-------------------
1 5 6 0
```
⇒ Đa thức trở thành:
\[
(x - 1)(x + 1)(x^2 + 5x + 6)
\]

**Bước 4: Phân tích \( x^2 + 5x + 6 \)**
\[
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
\]

**Kết quả cuối cùng:**
\[
\boxed{(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x + 3)}
\]