Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Xét tứ giác $AEHF$:
Ta có $HE \perp AB$ (giả thiết) $\implies \widehat{AEH} = 90^\circ$.
Ta có $HF \perp AC$ (giả thiết) $\implies \widehat{AFH} = 90^\circ$.
Tứ giác $AEHF$ có $\widehat{AEH}$ và $\widehat{AFH}$ cùng nhìn cạnh $AH$ dưới một góc $90^\circ$.
Do đó, tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$.

Vì $AEHF$ nội tiếp, suy ra $\widehat{AEF} = \widehat{AHF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AF$). (1)

Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$ (do $AH$ là đường cao), ta có:
$\widehat{ACH} + \widehat{HAC} = 90^\circ$.
Hay $\widehat{C} + \widehat{HAC} = 90^\circ$. (2)

Xét $\triangle AFH$ vuông tại $F$ (do $HF \perp AC$), ta có:
$\widehat{AHF} + \widehat{FAH} = 90^\circ$.
Mà $\widehat{FAH}$ chính là $\widehat{HAC}$.
Nên $\widehat{AHF} + \widehat{HAC} = 90^\circ$. (3)

Từ (2) và (3), suy ra $\widehat{AHF} = \widehat{C}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$). (4)

Từ (1) và (4), suy ra $\widehat{AEF} = \widehat{C}$ (hay $\widehat{AEF} = \widehat{ACB}$).

Xét tứ giác $BCEF$:
Ta có $\widehat{AEF} = \widehat{ACB}$ (chứng minh trên).
$\widehat{AEF}$ là góc ngoài tại đỉnh $E$ của tứ giác $BCEF$.
Vì góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện ($\widehat{AEF} = \widehat{BCF}$), nên tứ giác $BCEF$ nội tiếp.

Do tứ giác $BCEF$ nội tiếp, các điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.
Suy ra $\widehat{FEB} = \widehat{FCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $FB$).

Mà tia $CB$ cắt $FE$ tại $M$, nên:
$\widehat{MEB}$ chính là $\widehat{FEB}$.
$\widehat{MCF}$ chính là $\widehat{FCB}$ (vì $F \in AC$).

Vậy, $\widehat{MEB} = \widehat{MCF}$ (đpcm).

...Xem thêm

Answer 2