Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh tam giác ABC và BDC vuông; SAHD nội tiếp

Vì AAA nằm trên đường tròn đường kính BC → ∠BAC=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ △ABCvuông tại A

Tương tự: △BDC vuông tại D:

D cũng nằm trên nửa đường tròn chắn cung BC ⇒ ∠BDC=90
⇒ △BDC vuông tại D

Ta biết:

H là giao điểm AC và BD
A,C∈(O), B,D∈(O)
∠SAH=∠CAB (góc trong tam giác ABCABCABC)
∠SDH=∠DCB (góc trong tam giác DBCDBCDBC)
Mà ∠CAB+∠DCB=180 vì là 2 góc trong cùng nửa đường tròn chắn BC

⇒ ∠SAH+∠SDH=180
⇒ Tứ giác SAHD nội tiếp

b) Chứng minh △IAH∼△KDC

Ta có:

I là trung điểm của SH
K là giao điểm của DM và HC

Xét các góc tương ứng:

∠IAH=∠KDC

Vì các điểm cùng nằm trong các tam giác vuông △ABC và △BDC đã chứng minh ở câu a.

$\frac{I A}{I H} = \frac{K D}{K C} V ì 𝐼 l à t r u n g đ i ể m c ủ a S H, n ê n \frac{I A}{I H} b ằ n g t ỷ l ệ x á c đ ị n h q u a đ ư ờ n g t r u n g b ì n h$

Suy ra:
→ △IAH∼△KDC (góc – góc – cạnh tỉ lệ)

c) Biết ∠BSC=60, BC=6 cm

Vì ∠BSC=60, BC=6⇒ tam giác SBC là tam giác đều → S nằm cách đều B và C

Dựa vào đối xứng, ta có thể suy ra:

Tâm O nằm trung điểm BC, bán kính $R = \frac{B C}{2} = 3 c m$
Giả sử góc ở tâm chắn cung AD là θ=60 (vì ∠BSC=60, giả thiết có thể đặt theo hình đối xứng)

Tính diện tích viên phân:

Bán kính đường tròn: $R = 3 c m$
Góc ở tâm θ=60 $= \frac{π}{3} r a d$

Diện tích hình quạt:

S_{q u ạ t} = \frac{1}{2} R^{2} θ = \frac{1}{2} X 3^{2} x \frac{π ​}{3} = \frac{9 π}{6} = \frac{3 π}{2} c m^{2}

Diện tích tam giác OAD (giả sử cân, hoặc dùng công thức tam giác với góc ở tâm):

S_{t a m g i á c} = \frac{1}{2} R^{2} s in (θ) = \frac{1}{2} x 9 x \sin (60) = \frac{9}{2} x \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} c m^{2}

Diện tích viên phân:

S_{v i ê n p h â n} = S_{q u ạ t} - S_{t a m g i á c} = \frac{3 π}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{4} c m^{2} \approx 0.81 c m^{2}

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh tam giác ABC và BDC vuông; SAHD nội tiếp

Vì AAA nằm trên đường tròn đường kính BC → ∠BAC=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ △ABCvuông tại A

Tương tự: △BDC vuông tại D:

D cũng nằm trên nửa đường tròn chắn cung BC ⇒ ∠BDC=90
⇒ △BDC vuông tại D

Ta biết:

H là giao điểm AC và BD
A,C∈(O), B,D∈(O)
∠SAH=∠CAB (góc trong tam giác ABCABCABC)
∠SDH=∠DCB (góc trong tam giác DBCDBCDBC)
Mà ∠CAB+∠DCB=180 vì là 2 góc trong cùng nửa đường tròn chắn BC

⇒ ∠SAH+∠SDH=180
⇒ Tứ giác SAHD nội tiếp

b) Chứng minh △IAH∼△KDC

Ta có:

I là trung điểm của SH
K là giao điểm của DM và HC

Xét các góc tương ứng:

∠IAH=∠KDC

Vì các điểm cùng nằm trong các tam giác vuông △ABC và △BDC đã chứng minh ở câu a.

$\frac{I A}{I H} = \frac{K D}{K C} V ì 𝐼 l à t r u n g đ i ể m c ủ a S H, n ê n \frac{I A}{I H} b ằ n g t ỷ l ệ x á c đ ị n h q u a đ ư ờ n g t r u n g b ì n h$

Suy ra:
→ △IAH∼△KDC (góc – góc – cạnh tỉ lệ)

c) Biết ∠BSC=60, BC=6 cm

Vì ∠BSC=60, BC=6⇒ tam giác SBC là tam giác đều → S nằm cách đều B và C

Dựa vào đối xứng, ta có thể suy ra:

Tâm O nằm trung điểm BC, bán kính $R = \frac{B C}{2} = 3 c m$
Giả sử góc ở tâm chắn cung AD là θ=60 (vì ∠BSC=60, giả thiết có thể đặt theo hình đối xứng)

Tính diện tích viên phân:

Bán kính đường tròn: $R = 3 c m$
Góc ở tâm θ=60 $= \frac{π}{3} r a d$

Diện tích hình quạt:

S_{q u ạ t} = \frac{1}{2} R^{2} θ = \frac{1}{2} X 3^{2} x \frac{π ​}{3} = \frac{9 π}{6} = \frac{3 π}{2} c m^{2}

Diện tích tam giác OAD (giả sử cân, hoặc dùng công thức tam giác với góc ở tâm):

S_{t a m g i á c} = \frac{1}{2} R^{2} s in (θ) = \frac{1}{2} x 9 x \sin (60) = \frac{9}{2} x \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} c m^{2}

Diện tích viên phân:

S_{v i ê n p h â n} = S_{q u ạ t} - S_{t a m g i á c} = \frac{3 π}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{4} c m^{2} \approx 0.81 c m^{2}

Answer 3

a) Chứng minh SH vuông góc với BC tại E và tứ giác HECD nội tiếp
Giả sử:

Bài toán cho nửa đường tròn (O) với đường kính BC. Trên nửa đường tròn (O), lấy hai điểm A và D theo thứ tự B, A, D, C. Tia BA và CD cắt nhau tại S, đoạn thẳng AC cắt BD tại H.OLM+1khoahoc.vietjack.com+1
Giải:

Do BC là đường kính của nửa đường tròn (O), theo định lý góc nội tiếp, ta có:OLM

∠BAC=∠BDC=90∘ \angle BAC = \angle BDC = 90^\circ∠BAC=∠BDC=90∘HOCMAI Forum
Từ đó, ta suy ra:OLM

CA⊥SB,BD⊥SC \text{CA} \perp \text{SB}, \quad \text{BD} \perp \text{SC}CA⊥SB,BD⊥SCOLM
Điều này chứng tỏ H là trực tâm của tam giác SBC.OLM
Vì SH là đường cao thứ ba của tam giác SBC, ta có:OLM

SH⊥BCtại E \text{SH} \perp \text{BC} \quad \text{tại E}SH⊥BCtại EOLM
Do đó, tứ giác HECD là tứ giác nội tiếp.OLM+1khoahoc.vietjack.com+1

b) Chứng minh góc TAH = góc KDC và suy ra CK·CA = CD·CI
Giả sử:

Gọi T là trung điểm của SH. Tia AT cắt SC tại I, DE cắt HC tại K.OLM+1khoahoc.vietjack.com+1
Giải:

Vì A và D cùng nhìn SH dưới một góc vuông, tứ giác SAHD nội tiếp đường tròn đường kính SH.OLM
Từ đó, ta suy ra:OLM

∠TAH=∠KDC \angle TAH = \angle KDC∠TAH=∠KDCOLM
Xét hai tam giác CKD và CIA có:OLM

∠KCD=∠KDC\angle KCD = \angle KDC∠KCD=∠KDC (chung)
∠KDC=∠TAH\angle KDC = \angle TAH∠KDC=∠TAH (từ trên)
Do đó, theo tiêu chí góc-góc-góc (g.g.g), ta có:

△CKD∼△CIA \triangle CKD \sim \triangle CIA△CKD∼△CIA
Từ đó, suy ra:

CKCI=CDCA⇒CK⋅CA=CD⋅CI \frac{CK}{CI} = \frac{CD}{CA} \quad \Rightarrow \quad CK \cdot CA = CD \cdot CICICK=CACD⇒CK⋅CA=CD⋅CIOLM

c) Chứng minh tam giác IAK cân
Giả sử:

Từ phần b), ta có △CKD∼△CIA\triangle CKD \sim \triangle CIA△CKD∼△CIA.
Do đó, ∠CKD=∠CIA\angle CKD = \angle CIA∠CKD=∠CIA.
Mặt khác, ∠CKD+∠AKD=180∘\angle CKD + \angle AKD = 180^\circ∠CKD+∠AKD=180∘ (góc kề bù).OLM
Tương tự, ∠CIA+∠AKD=180∘\angle CIA + \angle AKD = 180^\circ∠CIA+∠AKD=180∘.
Vì vậy, tứ giác AIDK là tứ giác nội tiếp.OLM+1khoahoc.vietjack.com+1
Do đó, ∠DAK=∠DIK\angle DAK = \angle DIK∠DAK=∠DIK (cùng chắn cung DK).OLM
Ngoài ra, D và E cùng nhìn SB dưới một góc vuông, nên tứ giác SBED là tứ giác nội tiếp.OLM
Từ đó, ∠DBC=∠DSE\angle DBC = \angle DSE∠DBC=∠DSE (cùng chắn cung DE).
Từ các quan hệ trên, ta có:

∠DAK=∠DIK \angle DAK = \angle DIK∠DAK=∠DIK
Điều này chứng tỏ tam giác IAK cân tại I

...Xem thêm

Answer 4