Gọi:

Số công nhân có trong tổ lúc đầu là x (người, x là số nguyên dương).
Số bộ đồng phục mỗi ngày tổ làm được lúc đầu là y (bộ, y là số dương).
Số ngày tổ hoàn thành công việc theo kế hoạch là t (ngày, t là số dương).
Theo đề bài, ta có các phương trình sau:

Tổng số bộ đồng phục là 420:x⋅y⋅t=420
Nếu thêm 3 công nhân vào tổ thì số công nhân là x+3.
Khi đó, mỗi ngày tổ làm nhiều hơn lúc đầu 7 bộ đồng phục, tức là mỗi ngày tổ làm được y+7 bộ.
Thời gian hoàn thành công việc vẫn là t ngày (vì công việc vẫn là 420 bộ và năng suất tăng lên).(x+3)(y+7)t=420
Từ phương trình (1) và (4), ta có: $xyt=(x+3)(y+7)t$Vì t>0, ta có thể chia cả hai vế cho t:xy=(x+3)(y+7)xy=xy+7x+3y+210=7x+3y+217x+3y=−21

Phương trình này có vẻ không hợp lý vì x và y là các số dương nên 7x+3y phải dương. Chúng ta cần xem xét lại đề bài hoặc cách hiểu.

Xem xét lại đề bài: Có lẽ ý của đề bài là thời gian hoàn thành công việc sẽ giảm đi khi tăng năng suất, chứ không phải giữ nguyên. Nếu vậy, chúng ta cần một thông tin khác hoặc cách tiếp cận khác.

Cách tiếp cận khác (nếu thời gian hoàn thành công việc thay đổi):

Gọi số ngày hoàn thành công việc lúc đầu là t1​ và số ngày hoàn thành công việc sau khi thêm công nhân là t2​.

x⋅y⋅t1​=420
(x+3)(y+7)t2​=420
Chúng ta vẫn có phương trình 7x+3y=−21, điều này cho thấy có thể có sự nhầm lẫn trong cách hiểu đề bài hoặc đề bài có vấn đề.

Giả sử đề bài có ý là năng suất mỗi công nhân tăng lên khi có thêm người (điều này không thực tế lắm trong bài toán về số lượng công nhân và sản phẩm đồng đều).

Một cách hiểu khác có thể là: "mỗi ngày tổ làm nhiều hơn lúc đầu 7 bộ đồng phục" là so sánh tổng sản lượng mỗi ngày của cả tổ.

Nếu hiểu như vậy, số bộ đồng phục tổ làm được mỗi ngày lúc sau là y+7. Thời gian hoàn thành công việc có thể thay đổi.

Nếu thời gian hoàn thành công việc là như nhau (có vẻ không hợp lý):

Chúng ta đã dẫn đến phương trình 7x+3y=−21, vô nghiệm với x,y>0.

Có lẽ đề bài có một sự thiếu sót hoặc diễn đạt chưa chính xác.

Nếu giả sử số ngày hoàn thành công việc giảm đi (và đề bài có ý so sánh năng suất của cả tổ mỗi ngày):

Gọi số ngày hoàn thành công việc lúc đầu là t. Năng suất ban đầu của tổ mỗi ngày là y (bộ). Năng suất sau khi thêm người là y+7 (bộ/ngày).

Số công nhân ban đầu là x. Số công nhân sau khi thêm người là x+3.

Chúng ta có:y⋅t=420(y+7)⋅t′=420 (với t′ là số ngày hoàn thành sau khi thêm người, t′<t)

Chúng ta vẫn thiếu một mối liên hệ trực tiếp giữa số công nhân và năng suất làm việc mỗi ngày của tổ.

Nếu đề bài có ý là năng suất trung bình của mỗi công nhân tăng lên khi có thêm người (điều này cũng không tự nhiên):

Năng suất trung bình ban đầu mỗi công nhân là y/x. Năng suất trung bình sau mỗi công nhân là (y+7)/(x+3). Nếu năng suất trung bình tăng, thì (y+7)/(x+3)>y/x, tức là x(y+7)>y(x+3)⟹xy+7x>xy+3y⟹7x>3y.

Chúng ta vẫn cần thêm thông tin để giải quyết bài toán này một cách xác định.

Tuy nhiên, nếu chúng ta bỏ qua yếu tố thời gian và chỉ tập trung vào năng suất hàng ngày:

Năng suất ban đầu của tổ mỗi ngày là y bộ. Năng suất sau khi thêm 3 công nhân là y+7 bộ.

Nếu chúng ta giả sử rằng năng suất của cả tổ tỉ lệ thuận với số công nhân (điều này thường được ngầm hiểu trong các bài toán dạng này, mặc dù không phải lúc nào cũng đúng trong thực tế), thì:

xy​=x+3y+7​ (năng suất trung bình mỗi công nhân là như nhau) y(x+3)=x(y+7)xy+3y=xy+7x3y=7xy=37​x

Bây giờ, chúng ta sử dụng thông tin tổng số sản phẩm và thời gian. Nếu thời gian hoàn thành công việc là t ngày trong cả hai trường hợp (đây là điểm gây khó hiểu của đề bài):

x⋅y⋅t=420⟹x⋅37​x⋅t=420⟹37​x2t=420(x+3)(y+7)t=420⟹(x+3)(37​x+7)t=420(x+3)⋅37​(x+3)⋅t=420⟹37​(x+3)2t=420

Từ hai phương trình:37​x2t=37​(x+3)2tx2=(x+3)2x2=x2+6x+90=6x+9x=−69​=−23​

Số công nhân không thể là số âm. Điều này càng khẳng định rằng có vấn đề trong cách hiểu đề bài hoặc đề bài bị sai sót.

Giả sử đề bài có ý là thời gian hoàn thành công việc giảm đi khi tăng năng suất, và số bộ đồng phục làm mỗi ngày của tổ tăng thêm 7 bộ:

Gọi số ngày làm việc ban đầu là t1​, số ngày làm việc sau là t2​.x⋅y⋅t1​=420(x+3)(y+7)t2​=420

Nếu chúng ta giả sử năng suất mỗi công nhân là không đổi, thì y/x=(y+7)/(x+3)⟹y=37​x.

37​x2t1​=420⟹x2t1​=180(x+3)(37​x+7)t2​=420⟹37​(x+3)2t2​=420⟹(x+3)2t2​=180

x2t1​=(x+3)2t2​

Chúng ta vẫn thiếu một mối liên hệ giữa thời