Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp:
Vì AB, AC là tiếp tuyến → $\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ$.
=> $\angle ABO + \angle ACO = 180^\circ →$ tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Chứng minh $AB^2 = AE \cdot AF$:
Từ A kẻ tiếp tuyến và cát tuyến $→$ dùng định lý tiếp tuyến-cát tuyến:
$AB^2 = AE \cdot AF$.

c) Cho $\angle BOA = 60^\circ$, tính thể tích khối quạt tròn BOC khi quay quanh OA (hoặc OC):

$\angle BOC = 2 \times 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (vì hai góc vuông tại tiếp điểm).
Diện tích quạt $S = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi R^2$.
Khi quay quạt BOC quanh OA (hoặc OC) $→$ tạo khối nón.
Thể tích $V = \frac{1}{3} S \cdot h$, với $h = R$ (vì bán kính chính là chiều cao nếu quay quanh OA/OC).

$→ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{\pi R^3}{9}$.

Answer 2

Đề bài đã cho
AAA nằm ngoài đường tròn (O;R)(O;R)(O;R).
Vẽ hai tiếp tuyến ABABAB và ACACAC với (O)(O)(O), B,CB,CB,C là tiếp điểm.
Vẽ cát tuyến AEFAEFAEF với (O)(O)(O), sao cho AE<AFAE < AFAE<AF, nằm giữa tia OAOAOA và tia OCOCOC.
DDD là trung điểm của EFEFEF.
Yêu cầu:

a) Chứng minh tứ giác ABOCABOCABOC nội tiếp.
b) Chứng minh AB2=AE⋅AFAB^2 = AE \cdot AFAB2=AE⋅AF.
c) Cho ∠BOA=60∘\angle BOA = 60^\circ∠BOA=60∘. Tính thể tích hình quạt tròn BOC theo RRR.

Phần a: Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
Nhận xét:

ABABAB và ACACAC là tiếp tuyến tại BBB và CCC.
OB⊥ABOB \perp ABOB⊥AB, OC⊥ACOC \perp ACOC⊥AC.
Tứ giác ABOCABOCABOC có: OB⊥ABOB \perp ABOB⊥AB tại BBB, OC⊥ACOC \perp ACOC⊥AC tại CCC.
Bằng cách khác:

Tính chất tứ giác nội tiếp: Một tứ giác ABOCABOCABOC nội tiếp nếu ∠ABC+∠AOC=180∘\angle ABC + \angle AOC = 180^\circ∠ABC+∠AOC=180∘ hoặc các đỉnh trên đường tròn.
Ở đây, OBOBOB và OCOCOC là bán kính, ABABAB và ACACAC là tiếp tuyến ⇒ ∠OBC=∠OCB=90∘\angle OBC = \angle OCB = 90^\circ∠OBC=∠OCB=90∘
Do đó, các góc tại BBB và CCC vuông ⇒ ABOCABOCABOC nội tiếp.
✅ Kết luận: ABOCABOCABOC là tứ giác nội tiếp.

Phần b: Chứng minh AB2=AE⋅AFAB^2 = AE \cdot AFAB2=AE⋅AF
Đây là tính chất tiếp tuyến – cát tuyến:

Nếu từ điểm ngoài đường tròn AAA vẽ:

Tiếp tuyến ABABAB ⇒ AB2=(sản phẩm đoạn ca˘ˊt của caˊt tuyeˆˊn)=AE⋅AFAB^2 = \text{(sản phẩm đoạn cắt của cát tuyến)} = AE \cdot AFAB2=(sản phẩm đoạn ca˘ˊt của caˊt tuyeˆˊn)=AE⋅AF.
Chứng minh nhanh bằng hình học:

Theo định lý tiếp tuyến – cát tuyến:
(từ điểm ngoaˋi đường troˋn A) AB2=AE⋅AF\text{(từ điểm ngoài đường tròn A) } AB^2 = AE \cdot AF(từ điểm ngoaˋi đường troˋn A) AB2=AE⋅AFABABAB là tiếp tuyến, AEFAEFAEF là cát tuyến cắt đường tròn. ✅

Phần c: Cho ∠BOA=60∘\angle BOA = 60^\circ∠BOA=60∘, tính thể tích hình quạt tròn BOC theo R
Bước 1: Nhận xét về hình quạt tròn

Hình quạt tròn BOC: tâm OOO, bán kính RRR, cung BCBCBC.
∠BOA=60∘\angle BOA = 60^\circ∠BOA=60∘.
Nhận xét:

Góc ở tâm tương ứng với cung BC:
Nếu AB, AC là tiếp tuyến, thì AAA ngoài đường tròn ⇒ ∠BOA=60∘\angle BOA = 60^\circ∠BOA=60∘ chính là góc tạo bởi hai bán kính OB và OA.
Bước 2: Diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn SBOC=θ360∘πR2S_{BOC} = \frac{\theta}{360^\circ} \pi R^2SBOC=360∘θπR2
θ=∠BOC=60∘\theta = \angle BOC = 60^\circθ=∠BOC=60∘
SBOC=60360πR2=16πR2S_{BOC} = \frac{60}{360} \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi R^2SBOC=36060πR2=61πR2Bước 3: Thể tích hình quạt tròn (nếu làm hình tròn tròn xoay 3D)

Nếu bạn muốn thể tích hình nón quay từ hình quạt, thì:
V=13R2⋅SBOC=?V = \frac{1}{3} R^2 \cdot S_{BOC} = ?V=31R2⋅SBOC=?Nhưng thông thường “thể tích hình quạt tròn” không được tính, chỉ tính diện tích.
✅ Kết luận:

SBOC=πR26S_{BOC} = \frac{\pi R^2}{6}SBOC=6πR2
✅ Tóm tắt kết quả
a) ABOCABOCABOC là tứ giác nội tiếp.
b) AB2=AE⋅AFAB^2 = AE \cdot AFAB2=AE⋅AF (tiếp tuyến – cát tuyến).
c) Diện tích hình quạt tròn BOC=πR26BOC = \frac{\pi R^2}{6}BOC=6πR2.

...Xem thêm

Answer 3