Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tứ giác nội tiếp khi 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn, hoặc khi tổng hai góc đối là 180°.

Ta xét:
- \( BE \perp AC \), \( CF \perp AB \) → \( E \), \( F \) là chân đường cao từ \( B \), \( C \).
- Xét góc \( \angle EBC + \angle EFC \):

Do \( \angle EBC = 90^\circ \), \( \angle EFC = 90^\circ \)

\[
\Rightarrow \angle EBC + \angle EFC = 180^\circ
\]

→ Tứ giác \( BCEF \) nội tiếp đường tròn. (Do có tổng hai góc đối bằng 180°)

Chứng minh \( \triangle AEF \sim \triangle ABC \)

Nhận xét:
- \( AE, AF \) là các đoạn vuông góc với \( BC \) và nằm trong tam giác ABC.

Dùng góc hoặc đồng dạng:

- \( \angle AEF = \angle ABC \) (do cùng chắn cung BF trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
- \( \angle AFE = \angle ACB \)

→ 2 tam giác có 2 góc bằng nhau ⇒ đồng dạng theo góc – góc (AA):*

\[
\triangle AEF \sim \triangle ABC
\]

Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của AD, BE, CF với (O) khác A, B, C. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PQR.

- Từ các tính chất hình học, ta có:
- \( \angle QPR = \angle CBA \)
- \( H \) là trực tâm của tam giác ABC, nhưng cũng chính là giao điểm phân giác của tam giác \( PQR \) do đối xứng.

- \( H \) cách đều các cạnh của tam giác \( PQR \) ⇒ thỏa mãn tính chất tâm đường tròn nội tiếp.

- \( BCEF \) nội tiếp.
- \( \triangle AEF \sim \triangle ABC \).
- \( H \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( PQR \).

...Xem thêm

Answer 2