Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giả sử kế hoạch ban đầu là làm xong 80 bài tập trong \( x \) ngày.
⇒ Mỗi ngày Dũng dự định làm:
\[
\frac{80}{x} \text{ bài tập}
\]

Trên thực tế, mỗi ngày làm thêm 2 bài ⇒ mỗi ngày làm:
\[
\frac{80}{x} + 2 \text{ bài tập}
\]

Do làm nhiều hơn nên Dũng hoàn thành sớm hơn 2 ngày ⇒ thời gian thực tế là \( x - 2 \) ngày.

Ta có phương trình:
\[
\left(\frac{80}{x} + 2\right)(x - 2) = 80
\]

Rút gọn:
\[
\frac{80(x - 2)}{x} + 2(x - 2) = 80
\]

\[
\frac{80(x - 2)}{x} + 2(x - 2) = 80 \\
\Rightarrow \frac{80(x - 2)}{x} + 2x - 4 = 80
\]

Nhân cả hai vế với \( x \) để khử mẫu:
\[
80(x - 2) + x(2x - 4) = 80x
\Rightarrow 80x - 160 + 2x^2 - 4x = 80x
\Rightarrow 2x^2 - 4x - 160 = 0
\Rightarrow x^2 - 2x - 80 = 0
\]

Giải phương trình:
\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 80}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{2 \pm 18}{2}
\Rightarrow x = 10 \text{ (loại nghiệm âm)}
\]

⇒ Mỗi ngày theo kế hoạch bạn Dũng làm:
\[
\frac{80}{10} = \boxed{8 \text{ bài tập}}
\]

---

Bài 2: Thể tích và diện tích toàn phần của hình nón

Cho tam giác vuông ABC vuông tại B, với:
- AB = 3a
- AC = 4a (đường quay)
⇒ Theo định lý Pythagoras:
\[
BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{(4a)^2 - (3a)^2} = \sqrt{16a^2 - 9a^2} = \sqrt{7}a
\]

Ta tính chiều cao (h) bằng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Diện tích tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot \sqrt{7}a = \frac{3\sqrt{7}}{2}a^2
\]

Chiều cao từ B đến AC là:
\[
h = \frac{2S}{AC} = \frac{2 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{2}a^2}{4a} = \frac{3\sqrt{7}a}{4}
\]

Thể tích hình nón:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3\sqrt{7}a}{4}\right)^2 \cdot 4a \\
= \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{189a^2}{16} \cdot 4a = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{756a^3}{16} = \frac{252\pi a^3}{16} = \boxed{\frac{63\pi a^3}{4}}
\]

Độ dài đường sinh (l): chính là cạnh AB = 3a
Bán kính đáy (r) = chiều cao = \( \frac{3\sqrt{7}a}{4} \)

Diện tích xung quanh:
\[
S_{xq} = \pi r l = \pi \cdot \frac{3\sqrt{7}a}{4} \cdot 3a = \frac{9\pi \sqrt{7}a^2}{4}
\]

Diện tích đáy:
\[
S_{đáy} = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\frac{3\sqrt{7}a}{4}\right)^2 = \frac{63\pi a^2}{16}
\]

Tổng diện tích toàn phần:
\[
S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = \frac{9\pi \sqrt{7}a^2}{4} + \frac{63\pi a^2}{16}
= \pi a^2 \left( \frac{9\sqrt{7}}{4} + \frac{63}{16} \right)
\]

Quy đồng mẫu:
\[
= \pi a^2 \left( \frac{36\sqrt{7} + 63}{16} \right) = \boxed{\pi a^2 \cdot \frac{36\sqrt{7} + 63}{16}}
\]

...Xem thêm

Answer 2