Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ tiến hành theo từng phần:

1. Chứng minh 4 điểm C, M, H, N nằm trên một đường tròn:

Ta có HM ⊥ CA tại M ⇒ ∠HMC = 90°
Ta có HN ⊥ CB tại N ⇒ ∠HNC = 90°
Ta có CH ⊥ AB tại H ⇒ ∠CHM = ∠CHN = 90° (do M thuộc CA, N thuộc CB)
Xét tứ giác CMHN, ta có: ∠HMC + ∠HNC = 90° + 90° = 180° Hai góc đối diện có tổng bằng 180°, vậy tứ giác CMHN là tứ giác nội tiếp. Vậy 4 điểm C, M, H, N nằm trên một đường tròn (đường tròn đường kính CH).

2. Chứng minh tam giác AMNB nội tiếp và EM.EN = EA.EB:

Xét các góc trong tam giác vuông CHA: ∠CHA = 90°
Xét các góc trong tam giác vuông CHB: ∠CHB = 90°
Xét tứ giác AMNB: ∠AMB là góc chắn cung AB của đường tròn đường kính AB. Vậy ∠AMB = 90°. ∠ANB là góc chắn cung AB của đường tròn đường kính AB. Vậy ∠ANB = 90°. Ta có ∠AMB + ∠ANB = 90° + 90° = 180°. Hai góc đối diện có tổng bằng 180°, vậy tứ giác AMNB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Vì AMNB là tứ giác nội tiếp, các điểm A, M, N, B cùng nằm trên một đường tròn.
Xét cát tuyến EMN cắt đường tròn (AMNB) tại M và N.
Xét cát tuyến EBA cắt đường tròn (AMNB) tại A và B.
Theo định lý cát tuyến của đường tròn, ta có: EM . EN = EA . EB.
3. Chứng minh PO vuông góc với MN và H, P, F thẳng hàng:

Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMNB. Vì tam giác AMNB nội tiếp đường tròn đường kính AB, tâm của đường tròn ngoại tiếp này là trung điểm của AB. Vậy P là trung điểm của AB.
Ta có O là trung điểm của AB (vì AB là đường kính của đường tròn (O)).
Vậy P trùng với O.
Do đó, PO trùng với OO, và PO có độ dài bằng 0.
Để chứng minh PO vuông góc với MN, ta cần xem xét lại vị trí của P. Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác nội tiếp AMNB là trung điểm của đường kính AB, tức là điểm O. Vậy ta cần chứng minh OO vuông góc với MN, điều này không có nghĩa.
Có lẽ có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc cách hiểu về P. Nếu P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB (hoặc ANB), thì P sẽ nằm trên đường trung trực của AM và MB (hoặc AN và NB).
Xét trường hợp P là trung điểm của AB (tâm đường tròn ngoại tiếp AMNB):

Gọi trung điểm của MN là K.
Xét tam giác OMN có OM = ON = R (bán kính). Vậy tam giác OMN là tam giác cân tại O.
OK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân OMN. Vậy OK ⊥ MN.
Vì P trùng với O, ta có PO ⊥ MN.
Chứng minh H, P, F thẳng hàng:

P là trung điểm của AB.
F là giao điểm của CO với đường tròn (O). F là điểm đối xứng của C qua O.
H là hình chiếu của C trên AB. H nằm trên đoạn AB.
Xét đường thẳng COF. Điểm O nằm trên đường thẳng này.
Điểm P cũng nằm trên đường thẳng AB.
Để H, P, F thẳng hàng, H phải nằm trên đường thẳng COF hoặc P phải trùng với O (đã chứng minh) và H, O, F thẳng hàng.
H nằm trên AB, F nằm trên đường thẳng CO. Trừ khi C, O, H thẳng hàng (điều này chỉ xảy ra khi C nằm trên đường kính AB), H, P(=O), F không thẳng hàng tổng quát.
Có lẽ có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc cách hiểu về P và sự thẳng hàng của H, P, F.
Xem xét lại nếu P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB có đường kính là AB (vì ∠AMB = 90°).
Vậy tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB là trung điểm của AB, trùng với O.
Vậy, với P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMNB (hoặc AMB), ta có P trùng với O.

PO ⊥ MN: Đã chứng minh OK ⊥ MN và P trùng với O.
H, P, F thẳng hàng: H nằm trên AB, P trùng với O, F nằm trên đường thẳng CO. H, O, F chỉ thẳng hàng khi C nằm trên đường kính AB.
Kết luận: Với cách hiểu P là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB (trùng với O), PO vuông góc với MN. Tuy nhiên, H, P, F thẳng hàng chỉ xảy ra trong trường hợp đặc biệt khi C nằm trên đường kính AB. Có thể có một cách hiểu khác về điểm P trong đề bài.