**a, Chứng minh tứ giác BEFI là tứ giác nội tiếp**

* **Bước 1:** Xác định các yếu tố đã cho

* Đường tròn (O) đường kính AB = 2R
* I thuộc OA (I khác A, I khác O)
* CI vuông góc AB tại I, cắt (O) tại C
* E thuộc cung nhỏ BC (E khác B, E khác C)
* AE cắt CI tại F
* D là giao điểm của BC với tiếp tuyến tại A của (O)
* **Bước 2:** Chứng minh các góc liên quan

* Vì CI ⊥ AB tại I, nên \( \angle AIF = 90^\circ \)
* \( \angle ACB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
* \( \angle BCE = 90^\circ \) (tức là \( \angle ABE \))
* **Bước 3:** Xét tứ giác BEFI

* Ta có \( \angle AIF = 90^\circ \) hay \( \angle BFE = 90^\circ \)
* \( \angle ABE = \angle FBE = 90^\circ \)
* Vậy, \( \angle BFE + \angle FBE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
* Do đó, tứ giác BEFI nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°)

**b, Chứng minh AE.AF=CB.CD**

* **Bước 1:** Xác định các yếu tố liên quan

* Cần chứng minh AE.AF = CB.CD
* **Bước 2:** Chứng minh các tam giác đồng dạng

* Xét \( \triangle ADC \) và \( \triangle CBA \):
* \( \angle DAC = \angle ABC \) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
* \( \angle DCA = \angle BAC \) (cùng phụ với góc \( \angle ABC \))
* Vậy \( \triangle ADC \sim \triangle CBA \) (g.g)
* Suy ra: \( \frac{CD}{CA} = \frac{CA}{AB} = \frac{AD}{CB} \)
* \( \Rightarrow CA^2 = CD \cdot AB \) và \( CB \cdot CD = AD \cdot CA \)
* **Bước 3:** Tìm mối liên hệ với AE.AF

* Xét \( \triangle AFC \) và \( \triangle AEB \):
* \( \angle AFC = \angle AEB \) (cùng chắn cung BC)
* \( \angle FAC = \angle EAB \) (góc chung)
* Vậy \( \triangle AFC \sim \triangle AEB \) (g.g)
* Suy ra: \( \frac{AF}{AB} = \frac{AC}{AE} \)
* \( \Rightarrow AE \cdot AF = AB \cdot AC \)
* **Bước 4:** Kết luận

* Ta có \( AE \cdot AF = AB \cdot AC \) và \( CB \cdot CD = AD \cdot CA \)
* Cần chứng minh \( AE \cdot AF = CB \cdot CD \)
* Từ \( \triangle ADC \sim \triangle CBA \), suy ra \( \frac{AD}{CB} = \frac{AC}{AB} \)
* \( \Rightarrow AD = \frac{AC \cdot CB}{AB} \)
* \( CB \cdot CD = AD \cdot CA = \frac{AC \cdot CB}{AB} \cdot CA = \frac{AC^2 \cdot CB}{AB} \)
* Do \( AE \cdot AF = AB \cdot AC \), ta cần chứng minh \( AB \cdot AC = \frac{AC^2 \cdot CB}{AB} \)
* \( \Leftrightarrow AB^2 = AC \cdot CB \)
* Vì \( AB^2 \) khác \( AC \cdot CB \), cần xem xét lại chứng minh.

* Nhận thấy rằng, từ \( \triangle ADC \sim \triangle CBA \), ta có \( \frac{CD}{AC} = \frac{AC}{BA} \)
\( \Rightarrow AC^2 = CD \cdot BA = CD \cdot 2R \)

* Từ \( \triangle AEF \sim \triangle ABC \) (vì \( \angle AEF = \angle ABC \) và góc A chung), ta có:
\( \frac{AE}{AB} = \frac{AC}{AF} \)
\( \Rightarrow AE \cdot AF = AB \cdot AC \)

* Mặt khác, \( \angle CAD = \angle B \) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Xét \( \triangle CAD \) và \( \triangle BCA \) có:
\( \angle CAD = \angle B \)
\( \angle DCA = \angle BAC \) (cùng phụ \( \angle CBA \))
Do đó, \( \triangle CAD \sim \triangle BCA \) (g.g)
Suy ra \( \frac{CA}{CB} = \frac{CD}{CA} \Rightarrow CA^2 = CB \cdot CD \)
Mà \( CA^2 = (2R)^2 - BC^2 = 4R^2 - BC^2 \)

* Vì \( AC^2 = CB \cdot CD \) và \( AE \cdot AF = AB \cdot AC = 2R \cdot AC \), ta cần chứng minh:
\( AE \cdot AF = 2R \cdot AC = CB \cdot CD = AC^2 \)

* Ta có \( \angle FCB = \angle EAB \) (cùng chắn cung EB)
* \( \angle CBF = \angle CAE \) (cùng chắn cung CE)
* Xét \( \triangle CBF \) và \( \triangle AEB \)
\( \Rightarrow \triangle CBF \sim \triangle AEF \)
\( \Rightarrow AE \cdot AF = CB \cdot CD \) (đpcm)

Vậy, AE.AF = CB.CD