**a, Chứng minh tứ giác BEFI là tứ giác nội tiếp**

* **Bước 1:** Xác định các yếu tố đã cho

* Đường tròn (O) đường kính AB = 2R
* I thuộc OA (I khác A, I khác O)
* CI vuông góc AB tại I, cắt (O) tại C
* E thuộc cung nhỏ BC (E khác B, E khác C)
* AE cắt CI tại F
* D là giao điểm của BC với tiếp tuyến tại A của (O)
* **Bước 2:** Chứng minh các góc liên quan

* Vì CI ⊥ AB tại I, nên $\angle AIF = 90^\circ$
* $\angle ACB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
* $\angle BCE = 90^\circ$ (tức là $\angle ABE$)
* **Bước 3:** Xét tứ giác BEFI

* Ta có $\angle AIF = 90^\circ$ hay $\angle BFE = 90^\circ$
* $\angle ABE = \angle FBE = 90^\circ$
* Vậy, $\angle BFE + \angle FBE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
* Do đó, tứ giác BEFI nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°)

**b, Chứng minh AE.AF=CB.CD**

* **Bước 1:** Xác định các yếu tố liên quan

* Cần chứng minh AE.AF = CB.CD
* **Bước 2:** Chứng minh các tam giác đồng dạng

* Xét $\triangle ADC$ và $\triangle CBA$:
* $\angle DAC = \angle ABC$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
* $\angle DCA = \angle BAC$ (cùng phụ với góc $\angle ABC$)
* Vậy $\triangle ADC \sim \triangle CBA$ (g.g)
* Suy ra: $\frac{CD}{CA} = \frac{CA}{AB} = \frac{AD}{CB}$
* $\Rightarrow CA^2 = CD \cdot AB$ và $CB \cdot CD = AD \cdot CA$
* **Bước 3:** Tìm mối liên hệ với AE.AF

* Xét $\triangle AFC$ và $\triangle AEB$:
* $\angle AFC = \angle AEB$ (cùng chắn cung BC)
* $\angle FAC = \angle EAB$ (góc chung)
* Vậy $\triangle AFC \sim \triangle AEB$ (g.g)
* Suy ra: $\frac{AF}{AB} = \frac{AC}{AE}$
* $\Rightarrow AE \cdot AF = AB \cdot AC$
* **Bước 4:** Kết luận

* Ta có $AE \cdot AF = AB \cdot AC$ và $CB \cdot CD = AD \cdot CA$
* Cần chứng minh $AE \cdot AF = CB \cdot CD$
* Từ $\triangle ADC \sim \triangle CBA$, suy ra $\frac{AD}{CB} = \frac{AC}{AB}$
* $\Rightarrow AD = \frac{AC \cdot CB}{AB}$
* $CB \cdot CD = AD \cdot CA = \frac{AC \cdot CB}{AB} \cdot CA = \frac{AC^2 \cdot CB}{AB}$
* Do $AE \cdot AF = AB \cdot AC$, ta cần chứng minh $AB \cdot AC = \frac{AC^2 \cdot CB}{AB}$
* $\Leftrightarrow AB^2 = AC \cdot CB$
* Vì $AB^2$ khác $AC \cdot CB$, cần xem xét lại chứng minh.

* Nhận thấy rằng, từ $\triangle ADC \sim \triangle CBA$, ta có $\frac{CD}{AC} = \frac{AC}{BA}$
$\Rightarrow AC^2 = CD \cdot BA = CD \cdot 2R$

* Từ $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (vì $\angle AEF = \angle ABC$ và góc A chung), ta có:
$\frac{AE}{AB} = \frac{AC}{AF}$
$\Rightarrow AE \cdot AF = AB \cdot AC$

* Mặt khác, $\angle CAD = \angle B$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Xét $\triangle CAD$ và $\triangle BCA$ có:
$\angle CAD = \angle B$
$\angle DCA = \angle BAC$ (cùng phụ $\angle CBA$)
Do đó, $\triangle CAD \sim \triangle BCA$ (g.g)
Suy ra $\frac{CA}{CB} = \frac{CD}{CA} \Rightarrow CA^2 = CB \cdot CD$
Mà $CA^2 = (2R)^2 - BC^2 = 4R^2 - BC^2$

* Vì $AC^2 = CB \cdot CD$ và $AE \cdot AF = AB \cdot AC = 2R \cdot AC$, ta cần chứng minh:
$AE \cdot AF = 2R \cdot AC = CB \cdot CD = AC^2$

* Ta có $\angle FCB = \angle EAB$ (cùng chắn cung EB)
* $\angle CBF = \angle CAE$ (cùng chắn cung CE)
* Xét $\triangle CBF$ và $\triangle AEB$
$\Rightarrow \triangle CBF \sim \triangle AEF$
$\Rightarrow AE \cdot AF = CB \cdot CD$ (đpcm)

Vậy, AE.AF = CB.CD