Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học này:

a) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn:

Xét tứ giác AFHE:

Góc AFH = 90° (CF là đường cao).
Góc AEH = 90° (BE là đường cao).
Suy ra góc AFH + góc AEH = 180°.
Kết luận:

Tứ giác AFHE có tổng hai góc đối bằng 180°, nên tứ giác AFHE nội tiếp được đường tròn.
Vậy bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AD.AM = AB.AC:

Xét tam giác ABD và tam giác AMC:

Góc ADB = góc ACM = 90° (AD là đường cao, AM là đường kính).
Góc ABD = góc AMC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác AMC (g.g).
Từ sự đồng dạng, suy ra tỉ lệ cạnh:

AD / AC = AB / AM
Suy ra AD.AM = AB.AC.
c) Chứng minh H, K, M thẳng hàng và PI ⊥ HK:

Chứng minh H, K, M thẳng hàng:

Gọi K' là giao điểm của AM và BC.
Xét tam giác ABK' và tam giác ACK':Góc ABK' = góc ACK' (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Góc AK'B = góc AK'C (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vậy tam giác ABK' đồng dạng với tam giác ACK' (g.g).
Suy ra AK' là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Mà K là trung điểm BC, nên K trùng K'.
Vậy AM đi qua trung điểm K của BC.
Xét tam giác AHM có P là giao điểm của AH và EF.
Tam giác AHM có K là trung điểm HM.
Vậy H, K, M thẳng hàng.
Chứng minh PI ⊥ HK:

Gọi I là giao điểm của AM và BC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB (cùng phụ với góc FBC).
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.