a) Chứng minh bốn điểm A. F. H.E cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính. AM của đường tròn (O). Chứng minh AD.AM = AB.AC
c) Gọi P là giao điểm của AH và EF. I là giao điểm của AM và BC. К là trung điểm của BC. Chứng minh: H.K.M thẳng hàng và PIHK.
Quảng cáo
2 câu trả lời 8812
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước theo yêu cầu của đề bài:
## a) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.
Ta có:
* \( \angle A E B = 90^{\circ} \) (BE là đường cao)
* \( \angle A F C = 90^{\circ} \) (CF là đường cao)
Xét tứ giác AFHE, ta có:
\[
\angle A F H + \angle A E H = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}
\]
Vậy tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn (tổng hai góc đối bằng 180 độ). Điều này có nghĩa là bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.
## b) Chứng minh AD.AM = AB.AC
Xét tam giác ABD vuông tại D và tam giác AMC vuông tại C (vì AM là đường kính), ta có:
* \( \angle A D B = 90^{\circ} \)
* \( \angle A C M = 90^{\circ} \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét \( \triangle A B D \) và \( \triangle A M C \):
* \( \angle A D B = \angle A C M = 90^{\circ} \)
* \( \angle A B D = \angle A M C \) (cùng chắn cung AC)
Vậy \( \triangle A B D \sim \triangle A M C \) (g.g).
Từ đó, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{A B}{A M} = \frac{A D}{A C}
\]
Suy ra:
\[
A D \cdot A M = A B \cdot A C
\]
## c) Chứng minh: H, K, M thẳng hàng và P I H K
**Chứng minh H, K, M thẳng hàng:**
Gọi K là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh H, K, M thẳng hàng.
Vì K là trung điểm của BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có OK vuông góc với BC.
Gọi E là giao điểm của HM và BC. Ta cần chứng minh E trùng với K.
Xét tam giác BHC, gọi K' là trung điểm BC. Ta có tính chất quen thuộc là K' là tâm đường tròn Euler của tam giác ABC.
Gọi D' là chân đường cao từ A của tam giác ABC. Khi đó D' trùng với D.
Ta có \( \angle B H C = 180^{\circ} - \angle B A C \).
Vì \( \angle B M C = \angle B A C \) (cùng chắn cung BC), suy ra \( \angle B H C + \angle B M C = 180^{\circ} \).
Do đó, tứ giác BHCM nội tiếp. Gọi K là trung điểm BC, thì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHCM. Suy ra KB = KC = KH = KM.
Vậy H, K, M thẳng hàng.
**Chứng minh P I H K:**
P là giao điểm của AH và EF, I là giao điểm của AM và BC. Ta cần chứng minh P, I, H, K đồng viên (cùng nằm trên một đường tròn).
Ta có AH vuông góc với BC và AM là đường kính.
\( \angle A H I = 90^{\circ} \).
Vì AFHE nội tiếp, ta có \( \angle A H E = \angle A F E \).
\( \angle P H K = \angle A H K \).
\( \angle P I K = \angle A I B \).
Xét tứ giác PIHK, ta cần chứng minh \( \angle P H K + \angle P I K = 180^{\circ} \) hoặc \( \angle I P H = \angle I K H \).
Vì K là trung điểm của BC, ta có \( \angle I K H = \angle I K B \).
Ta có \( \angle A H E = \angle A F E \), và \( \angle A F E = \angle A B C \) (cùng chắn cung AE).
Suy ra \( \angle A H E = \angle A B C \).
Tứ giác PIHK nội tiếp khi và chỉ khi \( \angle H P I = \angle H K I \).
Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học này:
a) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn:
Xét tứ giác AFHE:
Góc AFH = 90° (CF là đường cao).
Góc AEH = 90° (BE là đường cao).
Suy ra góc AFH + góc AEH = 180°.
Kết luận:
Tứ giác AFHE có tổng hai góc đối bằng 180°, nên tứ giác AFHE nội tiếp được đường tròn.
Vậy bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AD.AM = AB.AC:
Xét tam giác ABD và tam giác AMC:
Góc ADB = góc ACM = 90° (AD là đường cao, AM là đường kính).
Góc ABD = góc AMC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác AMC (g.g).
Từ sự đồng dạng, suy ra tỉ lệ cạnh:
AD / AC = AB / AM
Suy ra AD.AM = AB.AC.
c) Chứng minh H, K, M thẳng hàng và PI ⊥ HK:
Chứng minh H, K, M thẳng hàng:
Gọi K' là giao điểm của AM và BC.
Xét tam giác ABK' và tam giác ACK':Góc ABK' = góc ACK' (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Góc AK'B = góc AK'C (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vậy tam giác ABK' đồng dạng với tam giác ACK' (g.g).
Suy ra AK' là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Mà K là trung điểm BC, nên K trùng K'.
Vậy AM đi qua trung điểm K của BC.
Xét tam giác AHM có P là giao điểm của AH và EF.
Tam giác AHM có K là trung điểm HM.
Vậy H, K, M thẳng hàng.
Chứng minh PI ⊥ HK:
Gọi I là giao điểm của AM và BC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB (cùng phụ với góc FBC).
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tam giác AEF và tam giác ABC:Góc A chung.
Góc AFE = góc ACB.
Vậy tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (g.g).
Suy ra góc AEF = góc ABC.
Xét tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra góc AFE = góc ACB.
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
103437
-
Hỏi từ APP VIETJACK68807
-
56608
-
47524
-
44249
-
36842
-
35274
-
zytera
1325 điểm
-
Dương Nguyễn
960 điểm
-
보고 싶어요
855 điểm
-
돈이없다 💸😭
815 điểm
-
우옌 ✨
790 điểm
-
`d.`
635 điểm
-
`color{blue}text{HuyTùng.`
555 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
540 điểm
-
주디 홉스닉주디🥵👍
520 điểm
-
‧₊˚✩ ₊˚🎧⊹♡≽☁˚˖ִ໋🌷͙֒✧˚.🎀༘⋆⋅♡👾đẹρ-†®åî⋆⭒💫
435 điểm
-
Ngọc Linh hay nói linh tinh
385 điểm
-
Kiều Anh 350 điểm
-
누가 고철을 팔고 싶어할까요🗑️🗑️
345 điểm
-
Bích Hồng 345 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 9
-
3 năm trước5749
-
3 năm trước5119
-
3 năm trước4650
-
3 năm trước4624
