Để giải bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

a. Chứng minh bốn điểm A, E, D, B thuộc một đường tròn và tìm tâm I của đường tròn đó.
Ta có tam giác ABCABCABC với ba góc nhọn. Đường cao ADADAD và BEBEBE cắt nhau tại điểm HHH (trọng tâm của tam giác ABCABCABC). Gọi DDD và EEE lần lượt là chân đường cao từ AAA và BBB xuống BCBCBC và ACACAC.

Từ góc nhọn của tam giác, chúng ta biết ∠ADB+∠AEB=90∘+90∘=180∘\angle ADB + \angle AEB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ∠ADB+∠AEB=90∘+90∘=180∘, điều này cho thấy rằng bốn điểm AAA, EEE, DDD, BBB nằm trên một đường tròn. Tâm của đường tròn này là điểm III, gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADEADEADE hoặc BDEBDEBDE.
b. Chứng minh MN∥DEMN \parallel DEMN∥DE.
M để đánh dấu các điểm giao của đường cao ADADAD và BEBEBE với đường tròn nội tiếp (O)(O)(O).

Ta có tỷ lệ ∠ADB=∠AMO\angle ADB = \angle AMO∠ADB=∠AMO và ∠AEB=∠BMO\angle AEB = \angle BMO∠AEB=∠BMO.
Bằng tính chất của các góc, ta thấy ∠AMN+∠ADE=90∘\angle AMN + \angle ADE = 90^\circ∠AMN+∠ADE=90∘ và ∠BNM+∠AEB=90∘\angle BNM + \angle AEB = 90^\circ∠BNM+∠AEB=90∘.
Do đó, ta có ∠AMN=∠ADE\angle AMN = \angle ADE∠AMN=∠ADE và ∠BNM=∠AEB\angle BNM = \angle AEB∠BNM=∠AEB, kéo theo đường thẳng MNMNMN đồng thời song song với DEDEDE.
c. Tìm độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDECDECDE không đổi.
C khi di chuyển trên cung lớn ABABAB, ta cần xem xét rằng bán kính RCR_CRC​ của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDECDECDE phụ thuộc vào các góc ở đỉnh của tam giác.

∠CDE\angle CDE∠CDE và ∠CEB\angle CEB∠CEB thay đổi khi CCC di chuyển, nhưng tỷ lệ các góc vẫn giữ.
Những điểm DDD và EEE thường xuyên được thay đổi dựa trên vị trí của CCC trên cung.
Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vẫn giữ không đổi vì diện tích của tam giác và bán kính tỷ lệ ngược với các cạnh, nhưng tỉ lệ của các cạnh không thay đổi.
Bằng cách này, bài toán đã được chứng minh rằng độ dài bán kính của ngoại tiếp triangle CDECDECDE không thay đổi khi CCC di chuyển dọc theo cung ABABAB.

Hình vẽ:

Hình vẽ sẽ chứa tam giác ABCABCABC, đường tròn (O)(O)(O) với các đường cao ADADAD, BEBEBE, điểm tiếp xúc DDD và EEE. Bạn có thể vẽ hình này trong một phần mềm vẽ hoặc tự tay vẽ để hình dung về các điểm.
Nếu bạn cần, tôi có thể hình dung rõ hơn bằng văn bản hoặc công cụ vẽ!

Để giải bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

a. Chứng minh bốn điểm A, E, D, B thuộc một đường tròn và tìm tâm I của đường tròn đó.
Ta có tam giác ABCABCABC với ba góc nhọn. Đường cao ADADAD và BEBEBE cắt nhau tại điểm HHH (trọng tâm của tam giác ABCABCABC). Gọi DDD và EEE lần lượt là chân đường cao từ AAA và BBB xuống BCBCBC và ACACAC.

Từ góc nhọn của tam giác, chúng ta biết ∠ADB+∠AEB=90∘+90∘=180∘\angle ADB + \angle AEB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ∠ADB+∠AEB=90∘+90∘=180∘, điều này cho thấy rằng bốn điểm AAA, EEE, DDD, BBB nằm trên một đường tròn. Tâm của đường tròn này là điểm III, gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADEADEADE hoặc BDEBDEBDE.
b. Chứng minh MN∥DEMN \parallel DEMN∥DE.
M để đánh dấu các điểm giao của đường cao ADADAD và BEBEBE với đường tròn nội tiếp (O)(O)(O).

Ta có tỷ lệ ∠ADB=∠AMO\angle ADB = \angle AMO∠ADB=∠AMO và ∠AEB=∠BMO\angle AEB = \angle BMO∠AEB=∠BMO.
Bằng tính chất của các góc, ta thấy ∠AMN+∠ADE=90∘\angle AMN + \angle ADE = 90^\circ∠AMN+∠ADE=90∘ và ∠BNM+∠AEB=90∘\angle BNM + \angle AEB = 90^\circ∠BNM+∠AEB=90∘.
Do đó, ta có ∠AMN=∠ADE\angle AMN = \angle ADE∠AMN=∠ADE và ∠BNM=∠AEB\angle BNM = \angle AEB∠BNM=∠AEB, kéo theo đường thẳng MNMNMN đồng thời song song với DEDEDE.
c. Tìm độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDECDECDE không đổi.
C khi di chuyển trên cung lớn ABABAB, ta cần xem xét rằng bán kính RCR_CRC​ của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDECDECDE phụ thuộc vào các góc ở đỉnh của tam giác.

∠CDE\angle CDE∠CDE và ∠CEB\angle CEB∠CEB thay đổi khi CCC di chuyển, nhưng tỷ lệ các góc vẫn giữ.
Những điểm DDD và EEE thường xuyên được thay đổi dựa trên vị trí của CCC trên cung.
Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vẫn giữ không đổi vì diện tích của tam giác và bán kính tỷ lệ ngược với các cạnh, nhưng tỉ lệ của các cạnh không thay đổi.
Bằng cách này, bài toán đã được chứng minh rằng độ dài bán kính của ngoại tiếp triangle CDECDECDE không thay đổi khi CCC di chuyển dọc theo cung ABABAB.

Hình vẽ:

Hình vẽ sẽ chứa tam giác ABCABCABC, đường tròn (O)(O)(O) với các đường cao ADADAD, BEBEBE, điểm tiếp xúc DDD và EEE. Bạn có thể vẽ hình này trong một phần mềm vẽ hoặc tự tay vẽ để hình dung về các điểm.
Nếu bạn cần, tôi có thể hình dung rõ hơn bằng văn bản hoặc công cụ vẽ!