Bước 1: Xác định AA và BB
Biểu thức AA:

A=2+xxA=2+x​x​​
Ta có xx=1x​x​​=1 khi x≠0x=0, do đó:

A=2+1=3A=2+1=3
Biểu thức BB:

B=2+xx+1B=2+x​+1x​​
Bước 2: Tính tỉ số PP
Tỉ số PP:P=AB=32+xx+1P=BA​=2+x​+1x​​3​
Bước 3: Đơn giản hóa BB
Ta sẽ đơn giản hóa biểu thức BB:

B=2+xx+1=2+xx+1B=2+x​+1x​​=2+x​+1x​​
Để dễ tính toán, ta sẽ tìm mẫu số chung:
B=(2(x+1)+x)x+1=2x+2+xx+1=3x+2x+1B=x​+1(2(x​+1)+x​)​=x​+12x​+2+x​​=x​+13x​+2​
Bước 4: Tính lại tỉ số PP
Khi đó, tỉ số PP trở thành:

P=33x+2x+1=3(x+1)3x+2P=x​+13x​+2​3​=3x​+23(x​+1)​
Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất của PP
Để tìm giá trị lớn nhất của PP, ta cần xét hàm:

P(x)=3(x+1)3x+2P(x)=3x​+23(x​+1)​
Xét hàm này trên tập x∈Nx∈N. Ta có thể tính giá trị của P(x)P(x) cho các giá trị x=0,1,2,3,…x=0,1,2,3,…
Bước 6: Tính giá trị cho các xx
x=0x=0:

P(0)=3(0+1)3(0)+2=32=1.5P(0)=3(0)+23(0+1)​=23​=1.5
x=1x=1:

P(1)=3(1+1)3(1)+2=3⋅23+2=65=1.2P(1)=3(1)+23(1+1)​=3+23⋅2​=56​=1.2
x=2x=2:

P(2)=3(2+1)32+2≈3(1.41+1)3⋅1.41+2≈3⋅2.414.23≈1.71P(2)=32​+23(2​+1)​≈3⋅1.41+23(1.41+1)​≈4.233⋅2.41​≈1.71
x=3x=3:

P(3)=3(3+1)33+2≈3(1.73+1)3⋅1.73+2≈3⋅2.735.19≈1.57P(3)=33​+23(3​+1)​≈3⋅1.73+23(1.73+1)​≈5.193⋅2.73​≈1.57
Kết luận
Từ các giá trị trên, giá trị lớn nhất của PP xảy ra tại x=2x=2 với P≈1.71P≈1.71.

Do đó, giá trị xx thuộc NN để PP đạt giá trị lớn nhất là:x=2x=2

Để giải bài toán này, ta có biểu thức \( A \) và \( B \) như sau:

\[
A = 2 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}, \quad B = 2 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]
Ta cần tính giá trị của \( P = \frac{A}{B} \) và tìm \( x \in \mathbb{N} \) để \( P \) đạt giá trị lớn nhất.

### Bước 1: Rút gọn các biểu thức
Biểu thức \( A \) có thể rút gọn như sau:
\[
A = 2 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 2 + 1 = 3
\]

Biểu thức \( B \) là:
\[
B = 2 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]

### Bước 2: Tính \( P = \frac{A}{B} \)
Từ công thức trên, ta có:
\[
P = \frac{A}{B} = \frac{3}{2 + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}}
\]

Để tìm giá trị \( P \) lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( P \) đạt cực đại.

### Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của \( P \)
Do bài toán yêu cầu giá trị \( P \) đạt cực đại khi \( x \in \mathbb{N} \), ta có thể thử một số giá trị của \( x \) và so sánh kết quả.

Thử với một số giá trị của \( x \), ví dụ:

- Khi \( x = 1 \):
\[
B = 2 + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} + 1} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5
\]
\[
P = \frac{3}{2.5} = 1.2
\]

- Khi \( x = 4 \):
\[
B = 2 + \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4} + 1} = 2 + \frac{2}{3} \approx 2.6667
\]
\[
P = \frac{3}{2.6667} \approx 1.125
\]

- Khi \( x = 9 \):
\[
B = 2 + \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9} + 1} = 2 + \frac{3}{4} = 2.75
\]
\[
P = \frac{3}{2.75} \approx 1.0909
\]

### Bước 4: Kết luận
Sau khi thử với các giá trị của \( x \), ta thấy rằng giá trị \( P \) đạt cực đại khi \( x = 1 \) với \( P = 1.2 \).

Vậy, giá trị của \( P \) đạt giá trị lớn nhất khi \( x = 1 \).