Để tìm giá trị của mmm sao cho phương trình bậc hai

x2−2(m−1)x+(2m+1)=0x^2 - 2(m-1)x + (2m+1) = 0x2−2(m−1)x+(2m+1)=0

có hai nghiệm x1,x2x_1, x_2x1​,x2​ thỏa mãn x1<2<x2x_1 < 2 < x_2x1​<2<x2​, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Điều kiện có hai nghiệm khác nhau
Một phương trình bậc hai có hai nghiệm khác nhau nếu và chỉ nếu delta (DDD) lớn hơn 0:

D=b2−4acD = b^2 - 4acD=b2−4ac

Trong trường hợp này,

a=1a = 1a=1
b=−2(m−1)=2(1−m)b = -2(m-1) = 2(1-m)b=−2(m−1)=2(1−m)
c=2m+1c = 2m + 1c=2m+1
Vậy:

D=[2(1−m)]2−4⋅1⋅(2m+1)D = [2(1-m)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m + 1)D=[2(1−m)]2−4⋅1⋅(2m+1)

D=4(1−2m+m2)−4(2m+1)D = 4(1 - 2m + m^2) - 4(2m + 1)D=4(1−2m+m2)−4(2m+1)

D=4m2−8m+4−8m−4=4m2−16mD = 4m^2 - 8m + 4 - 8m - 4 = 4m^2 - 16mD=4m2−8m+4−8m−4=4m2−16m

Để có hai nghiệm khác nhau, ta cần:

4m2−16m>04m^2 - 16m > 04m2−16m>0

m2−4m>0m^2 - 4m > 0m2−4m>0

m(m−4)>0m(m-4) > 0m(m−4)>0

Điều này xảy ra khi m<0m < 0m<0 hoặc m>4m > 4m>4.

Bước 2: Tìm điều kiện x1<2<x2x_1 < 2 < x_2x1​<2<x2​
Áp dụng định lý Viète, ta có:

Tổng hai nghiệm: x1+x2=2(m−1)x_1 + x_2 = 2(m-1)x1​+x2​=2(m−1)
Tích hai nghiệm: x1x2=2m+1x_1 x_2 = 2m + 1x1​x2​=2m+1
Để thỏa mãn điều kiện x1<2<x2x_1 < 2 < x_2x1​<2<x2​:

Từ x1+x2=2(m−1)x_1 + x_2 = 2(m-1)x1​+x2​=2(m−1) và x1<2x_1 < 2x1​<2, ta suy ra được:

x1+x2<2+x2  ⟹  2(m−1)<2+x2x_1 + x_2 < 2 + x_2 \implies 2(m-1) < 2 + x_2x1​+x2​<2+x2​⟹2(m−1)<2+x2​

Suy ra:

x2>2(m−2)x_2 > 2(m-2)x2​>2(m−2)

Từ x1<2x_1 < 2x1​<2:

Khi x1<2x_1 < 2x1​<2 và x1x2=2m+1>0x_1 x_2 = 2m + 1 > 0x1​x2​=2m+1>0, tính chất về dấu cũng cần xem xét.
Bước 3: Kết hợp các điều kiện
Cần có:

D>0D > 0D>0: m<0m < 0m<0 hoặc m>4m > 4m>4.
Từ x2>2(m−2)x_2 > 2(m-2)x2​>2(m−2).
Trường hợp m>4m > 4m>4:

Với m>4m > 4m>4, ta dễ dàng tính được x2>2>x1x_2 > 2 > x_1x2​>2>x1​.
Trường hợp m<0m < 0m<0:

Với m<0m < 0m<0, x1+x2<2x_1 + x_2 < 2x1​+x2​<2, do đó khó để đảm bảo x2>2>x1x_2 > 2 > x_1x2​>2>x1​.
Kết luận
Giá trị của mmm để phương trình có hai nghiệm x1,x2x_1, x_2x1​,x2​ thỏa mãn x1<2<x2x_1 < 2 < x_2x1​<2<x2​ là

m>4.m > 4.m>4.

Để tìm giá trị của mmm sao cho phương trình bậc hai

x2−2(m−1)x+(2m+1)=0x^2 - 2(m-1)x + (2m+1) = 0x2−2(m−1)x+(2m+1)=0

có hai nghiệm x1,x2x_1, x_2x1​,x2​ thỏa mãn x1<2<x2x_1 < 2 < x_2x1​<2<x2​, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Điều kiện có hai nghiệm khác nhau
Một phương trình bậc hai có hai nghiệm khác nhau nếu và chỉ nếu delta (DDD) lớn hơn 0:

D=b2−4acD = b^2 - 4acD=b2−4ac

Trong trường hợp này,

a=1a = 1a=1
b=−2(m−1)=2(1−m)b = -2(m-1) = 2(1-m)b=−2(m−1)=2(1−m)
c=2m+1c = 2m + 1c=2m+1
Vậy:

D=[2(1−m)]2−4⋅1⋅(2m+1)D = [2(1-m)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m + 1)D=[2(1−m)]2−4⋅1⋅(2m+1)

D=4(1−2m+m2)−4(2m+1)D = 4(1 - 2m + m^2) - 4(2m + 1)D=4(1−2m+m2)−4(2m+1)

D=4m2−8m+4−8m−4=4m2−16mD = 4m^2 - 8m + 4 - 8m - 4 = 4m^2 - 16mD=4m2−8m+4−8m−4=4m2−16m

Để có hai nghiệm khác nhau, ta cần:

4m2−16m>04m^2 - 16m > 04m2−16m>0

m2−4m>0m^2 - 4m > 0m2−4m>0

m(m−4)>0m(m-4) > 0m(m−4)>0

Điều này xảy ra khi m<0m < 0m<0 hoặc m>4m > 4m>4.

Bước 2: Tìm điều kiện x1<2<x2x_1 < 2 < x_2x1​<2<x2​
Áp dụng định lý Viète, ta có:

Tổng hai nghiệm: x1+x2=2(m−1)x_1 + x_2 = 2(m-1)x1​+x2​=2(m−1)
Tích hai nghiệm: x1x2=2m+1x_1 x_2 = 2m + 1x1​x2​=2m+1
Để thỏa mãn điều kiện x1<2<x2x_1 < 2 < x_2x1​<2<x2​:

Từ x1+x2=2(m−1)x_1 + x_2 = 2(m-1)x1​+x2​=2(m−1) và x1<2x_1 < 2x1​<2, ta suy ra được:

x1+x2<2+x2  ⟹  2(m−1)<2+x2x_1 + x_2 < 2 + x_2 \implies 2(m-1) < 2 + x_2x1​+x2​<2+x2​⟹2(m−1)<2+x2​

Suy ra:

x2>2(m−2)x_2 > 2(m-2)x2​>2(m−2)

Từ x1<2x_1 < 2x1​<2:

Khi x1<2x_1 < 2x1​<2 và x1x2=2m+1>0x_1 x_2 = 2m + 1 > 0x1​x2​=2m+1>0, tính chất về dấu cũng cần xem xét.
Bước 3: Kết hợp các điều kiện
Cần có:

D>0D > 0D>0: m<0m < 0m<0 hoặc m>4m > 4m>4.
Từ x2>2(m−2)x_2 > 2(m-2)x2​>2(m−2).
Trường hợp m>4m > 4m>4:

Với m>4m > 4m>4, ta dễ dàng tính được x2>2>x1x_2 > 2 > x_1x2​>2>x1​.
Trường hợp m<0m < 0m<0:

Với m<0m < 0m<0, x1+x2<2x_1 + x_2 < 2x1​+x2​<2, do đó khó để đảm bảo x2>2>x1x_2 > 2 > x_1x2​>2>x1​.
Kết luận
Giá trị của mmm để phương trình có hai nghiệm x1,x2x_1, x_2x1​,x2​ thỏa mãn x1<2<x2x_1 < 2 < x_2x1​<2<x2​ là   m>4.m > 4.m>4.