Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước theo yêu cầu:

1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt:
Ta cần tìm điểm giao nhau giữa parabol (P):y=x2(P): y = x^2(P):y=x2 và đường thẳng (d):y=2x+3(d): y = 2x + 3(d):y=2x+3.

Để tìm các điểm chung, ta đặt hai phương trình bằng nhau:
x2=2x+3x^2 = 2x + 3x2=2x+3

Sắp xếp lại ta có:
x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0x2−2x−3=0

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình bậc 2 này bằng công thức nghiệm:
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac
Trong đó, a=1,b=−2,c=−3a = 1, b = -2, c = -3a=1,b=−2,c=−3. Tính delta:
Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=4+12=16\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=4+12=16

Vì Δ>0\Delta > 0Δ>0, nên phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt.

Từ đó, ta có hai nghiệm là:
x1=2+162=2+42=3x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3x1=22+16=22+4=3
x2=2−162=2−42=−1x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1x2=22−16=22−4=−1

Như vậy, (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt.

2. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ):
Gọi AAA và BBB là các điểm chung với tọa độ:

Điểm AAA có tọa độ (3,32)=(3,9)(3, 3^2) = (3, 9)(3,32)=(3,9)
Điểm BBB có tọa độ (−1,(−1)2)=(−1,1)(-1, (-1)^2) = (-1, 1)(−1,(−1)2)=(−1,1)
Để tính diện tích tam giác OABOABOAB với O(0,0)O(0, 0)O(0,0), ta sử dụng công thức diện tích tam giác với ba điểm (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3):
S=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|S=21∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣

Áp dụng vào các điểm O(0,0),A(3,9),B(−1,1)O(0, 0), A(3, 9), B(-1, 1)O(0,0),A(3,9),B(−1,1):

x1=0,y1=0x_1 = 0, y_1 = 0x1=0,y1=0
x2=3,y2=9x_2 = 3, y_2 = 9x2=3,y2=9
x3=−1,y3=1x_3 = -1, y_3 = 1x3=−1,y3=1
Thay vào công thức:
S=12∣0(9−1)+3(1−0)+(−1)(0−9)∣S = \frac{1}{2} \left| 0(9 - 1) + 3(1 - 0) + (-1)(0 - 9) \right|S=21∣0(9−1)+3(1−0)+(−1)(0−9)∣
=12∣0+3+9∣= \frac{1}{2} \left| 0 + 3 + 9 \right|=21∣0+3+9∣
=12×12=6= \frac{1}{2} \times 12 = 6=21×12=6

Vậy, diện tích tam giác OABOABOAB là 6\boxed{6}6.

...Xem thêm

Answer 2