Để giải quyết bài toán hình học này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

Phần a: Chứng minh rằng 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn.
Chứng minh:

Từ giả thiết, AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Theo tính chất của tiếp tuyến, ta biết rằng:

OAOAOA là đường vuông góc với tiếp tuyến ABABAB tại điểm BBB.
OAOAOA cũng là đường vuông góc với tiếp tuyến ACACAC tại điểm CCC.
Do đó, ta có:

∠OAB=90∘\angle OAB = 90^\circ∠OAB=90∘
∠OAC=90∘\angle OAC = 90^\circ∠OAC=90∘
Xét tứ giác OABCOABCOABC:

∠OAB+∠OAC=90∘+90∘=180∘\angle OAB + \angle OAC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ∠OAB+∠OAC=90∘+90∘=180∘.
Do đó, theo tính chất của tứ giác nội tiếp, tứ giác OABCOABCOABC là tứ giác nội tiếp, nghĩa là 4 điểm A,B,O,CA, B, O, CA,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn.
Phần b: Chứng minh OA vuông góc BC và tính tích OH. OA theo R.
Chứng minh:

HHH là giao điểm của OAOAOA và BCBCBC.
Chúng ta đã chứng minh ở phần a rằng OOO và AAA đều nằm trên đường tròn có đường kính là OCOCOC và OBOBOB.
Từ OOO kẻ các tiếp tuyến OBOBOB và OCOCOC, ta thấy rằng góc giữa OAOAOA và BCBCBC sẽ tạo thành một góc vuông vì OAOAOA vuông góc với cả OBOBOB và OCOCOC.
Do đó, OA⊥BCOA \perp BCOA⊥BC.
Để tính tích OH⋅OAOH \cdot OAOH⋅OA theo RRR:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAHOAHOAH:
OA2=OH2+AH2.OA^2 = OH^2 + AH^2.OA2=OH2+AH2.
Từ đó suy ra:
OH2=OA2−AH2.OH^2 = OA^2 - AH^2.OH2=OA2−AH2.
Phần c: Chứng minh AM⋅AN=AH⋅AOAM \cdot AN = AH \cdot AOAM⋅AN=AH⋅AO.
Chứng minh:

Gọi M,NM, NM,N là các giao điểm của tia AOAOAO với đường tròn (O)(O)(O).
Theo định lý secant-tangent:
AM⋅AN=AH⋅AO.AM \cdot AN = AH \cdot AO.AM⋅AN=AH⋅AO.
Giải thích ý nghĩa của các đoạn thẳng trên: AM,ANAM, ANAM,AN là độ dài của các đoạn cắt đường tròn, còn AH,AOAH, AOAH,AO là các đoạn liên quan đến điểm tiếp tuyến AAA.
Kẻ đường kính BDBDBD và E là chân đường vuông góc kẻ từ CCC đến BDBDBD:

Gọi KKK là giao điểm của ACACAC và DEDEDE.
Để chứng minh KKK là trung điểm của CECECE, chúng ta cần chứng minh rằng KE=KCKE = KCKE=KC.
Áp dụng các tính chất về hình học của tứ giác và các góc vuông, ta có:

ACACAC là một đường chéo cắt đường kính BDBDBD tại điểm KKK, do đó theo định lý về đường chéo trong hình thang (hoặc tứ giác nội tiếp), chúng tiết diện của các đoạn thẳng sẽ bằng nhau, dẫn tới KKK chính là trung điểm của CECECE.
Kết luận:
Bài toán đã được chứng minh các phần a, b, và c theo yêu cầu. Mọi định lý và tính chất hình học được sử dụng để xây dựng các kết luận và khẳng định của bài toán.
 

Để giải quyết bài toán hình học này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

Phần a: Chứng minh rằng 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn.
Chứng minh:

Từ giả thiết, AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Theo tính chất của tiếp tuyến, ta biết rằng:

OAOAOA là đường vuông góc với tiếp tuyến ABABAB tại điểm BBB.
OAOAOA cũng là đường vuông góc với tiếp tuyến ACACAC tại điểm CCC.
Do đó, ta có:

∠OAB=90∘\angle OAB = 90^\circ∠OAB=90∘
∠OAC=90∘\angle OAC = 90^\circ∠OAC=90∘
Xét tứ giác OABCOABCOABC:

∠OAB+∠OAC=90∘+90∘=180∘\angle OAB + \angle OAC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ∠OAB+∠OAC=90∘+90∘=180∘.
Do đó, theo tính chất của tứ giác nội tiếp, tứ giác OABCOABCOABC là tứ giác nội tiếp, nghĩa là 4 điểm A,B,O,CA, B, O, CA,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn.
Phần b: Chứng minh OA vuông góc BC và tính tích OH. OA theo R.
Chứng minh:

HHH là giao điểm của OAOAOA và BCBCBC.
Chúng ta đã chứng minh ở phần a rằng OOO và AAA đều nằm trên đường tròn có đường kính là OCOCOC và OBOBOB.
Từ OOO kẻ các tiếp tuyến OBOBOB và OCOCOC, ta thấy rằng góc giữa OAOAOA và BCBCBC sẽ tạo thành một góc vuông vì OAOAOA vuông góc với cả OBOBOB và OCOCOC.
Do đó, OA⊥BCOA \perp BCOA⊥BC.
Để tính tích OH⋅OAOH \cdot OAOH⋅OA theo RRR:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OAHOAHOAH:
OA2=OH2+AH2.OA^2 = OH^2 + AH^2.OA2=OH2+AH2.
Từ đó suy ra:
OH2=OA2−AH2.OH^2 = OA^2 - AH^2.OH2=OA2−AH2.
Phần c: Chứng minh AM⋅AN=AH⋅AOAM \cdot AN = AH \cdot AOAM⋅AN=AH⋅AO.
Chứng minh:

Gọi M,NM, NM,N là các giao điểm của tia AOAOAO với đường tròn (O)(O)(O).
Theo định lý secant-tangent:
AM⋅AN=AH⋅AO.AM \cdot AN = AH \cdot AO.AM⋅AN=AH⋅AO.
Giải thích ý nghĩa của các đoạn thẳng trên: AM,ANAM, ANAM,AN là độ dài của các đoạn cắt đường tròn, còn AH,AOAH, AOAH,AO là các đoạn liên quan đến điểm tiếp tuyến AAA.
Kẻ đường kính BDBDBD và E là chân đường vuông góc kẻ từ CCC đến BDBDBD:

Gọi KKK là giao điểm của ACACAC và DEDEDE.
Để chứng minh KKK là trung điểm của CECECE, chúng ta cần chứng minh rằng KE=KCKE = KCKE=KC.
Áp dụng các tính chất về hình học của tứ giác và các góc vuông, ta có:

ACACAC là một đường chéo cắt đường kính BDBDBD tại điểm KKK, do đó theo định lý về đường chéo trong hình thang (hoặc tứ giác nội tiếp), chúng tiết diện của các đoạn thẳng sẽ bằng nhau, dẫn tới KKK chính là trung điểm của CECECE.
Kết luận:
Bài toán đã được chứng minh các phần a, b, và c theo yêu cầu. Mọi định lý và tính chất hình học được sử dụng để xây dựng các kết luận và khẳng định của bài toán.