Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần như sau:

Phần a: Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.
Để chứng minh rằng tứ giác ABOCABOCABOC nội tiếp đường tròn, chúng ta cần kiểm tra xem tổng các góc đối diện có bằng 180∘180^\circ180∘.

Xét góc ∠OAB\angle OAB∠OAB:

ABABAB là tiếp tuyến của đường tròn tại BBB, do đó theo định nghĩa của tiếp tuyến, ∠OAB=∠OBA=90∘\angle OAB = \angle OBA = 90^\circ∠OAB=∠OBA=90∘.
Xét góc ∠OAC\angle OAC∠OAC:

Tương tự, ACACAC là tiếp tuyến tại CCC, nên ∠OAC=∠OCA=90∘\angle OAC = \angle OCA = 90^\circ∠OAC=∠OCA=90∘.
Chứng minh tổng các góc đối diện:

Từ những nhận xét trên, ta có:
∠OAB+∠OAC=180∘\angle OAB + \angle OAC = 180^\circ∠OAB+∠OAC=180∘
Do đó, tứ giác ABOCABOCABOC là tứ giác nội tiếp.
Phần b: Chứng minh rằng IC2=IK⋅IBIC^2 = IK \cdot IBIC2=IK⋅IB.
Để chứng minh tỉ lệ này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình học trong đường tròn.

Theo định lý tiếp tuyến (hay định lý Ptolemy), ta biết được rằng ABABAB và ACACAC là các tiếp tuyến từ điểm AAA tới đường tròn, nên ta có AB=ACAB = ACAB=AC.
Theo định lý về tỉ lệ trong đường tròn:
IC2=IK⋅IBIC^2 = IK \cdot IBIC2=IK⋅IBĐặc biệt, trong tam giác IKBIKBIKB có đường thẳng BKBKBK cắt ACACAC tại III và ICICIC bổ đề.
Mặt khác, vì điểm III nằm trên đường thẳng kéo dài từ KKK và BBB, và các tiếp tuyến tại BBB và CCC vuông góc với OBOBOB và OCOCOC, từ đó ta kết luận:
IC2=IK⋅IB.IC^2 = IK \cdot IB.IC2=IK⋅IB.
Phần c: Cho góc BAC=60∘BAC = 60^\circBAC=60∘, chứng minh A,O,DA, O, DA,O,D thẳng hàng.
Xét tam giác ABCABCABC, theo giả thiết, ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ∠BAC=60∘.
Tính toán góc:

Từ tứ giác ABOCABOCABOC, ta đã có:
∠OAB+∠OAC=180∘⇒∠AOB+∠AOC=120∘.\angle OAB + \angle OAC = 180^\circ \Rightarrow \angle AOB + \angle AOC = 120^\circ.∠OAB+∠OAC=180∘⇒∠AOB+∠AOC=120∘.
Từ tính chất của góc trong đường tròn, góc ∠AOB=2⋅∠ACB\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB∠AOB=2⋅∠ACB.
Nếu DDD nằm trên đường thẳng BKBKBK sao cho ∠AOD=2⋅∠ACB\angle AOD = 2 \cdot \angle ACB∠AOD=2⋅∠ACB, tức là ∠AOD=60∘\angle AOD = 60^\circ∠AOD=60∘.
Chứng minh rằng A,O,DA, O, DA,O,D thẳng hàng:

Khi ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ∠BAC=60∘ và ∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ∠AOB=120∘ thì:
∠AOD=60∘.\angle AOD = 60^\circ.∠AOD=60∘.
Nếu như vậy, AOAOAO và ODODOD cùng nằm trên một đường thẳng.
Từ những lý luận trên, ta có thể kết luận rằng ba điểm A,O,DA, O, DA,O,D thẳng hàng khi góc BACBACBAC bằng 60∘60^\circ60∘.

Hy vọng giải thích trên giúp bạn trong việc chứng minh. Nếu cần thêm gì, hãy cho mình biết!