Để rút gọn biểu thức P = \left \frac{x - 2}{x + 2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} - 1), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Rút gọn PPP
Bước 1: Gọi u=xu = \sqrt{x}u=x​, từ đó x=u2x = u^2x=u2. Thay vào biểu thức PPP:

P=(u2−2u2+2u+1u+2)⋅u+u−1P = \left( \frac{u^2 - 2}{u^2 + 2u} + \frac{1}{u + 2} \right) \cdot u + u - 1P=(u2+2uu2−2​+u+21​)⋅u+u−1

Bước 2: Rút gọn phần bên trong dấu ngoặc:

Phân tích phần tử thứ nhất:

u2−2u2+2u=(u2−2)(u+2)(u2+2u)(u+2)=u3+2u2−2u−4u3+2u2\frac{u^2 - 2}{u^2 + 2u} = \frac{(u^2 - 2)(u + 2)}{(u^2 + 2u)(u + 2)} = \frac{u^3 + 2u^2 - 2u - 4}{u^3 + 2u^2}u2+2uu2−2​=(u2+2u)(u+2)(u2−2)(u+2)​=u3+2u2u3+2u2−2u−4​

Phân tích phần tử thứ hai:

1u+2\frac{1}{u + 2}u+21​

Bước 3: Tìm mẫu chung của hai phân số:

Mẫu chung là u2+2uu+2u^2 + 2uu + 2u2+2uu+2) ). Chúng ta cần mỗi phân số có mẫu chung này:

(u2−2)(u+2)(u2+2u)(u+2)+(u2+2u)(u+2)(u2+2u)=(u2−2)(u+2)+1(u2+2u)(u2+2u)(u+2)\frac{(u^2 - 2)(u + 2)}{(u^2 + 2u)(u + 2)} + \frac{(u^2 + 2u)}{(u + 2)(u^2 + 2u)} = \frac{(u^2 - 2)(u + 2) + 1(u^2 + 2u)}{(u^2 + 2u)(u + 2)}(u2+2u)(u+2)(u2−2)(u+2)​+(u+2)(u2+2u)(u2+2u)​=(u2+2u)(u+2)(u2−2)(u+2)+1(u2+2u)​

Bước 4: Rút gọn biểu thức trên:

Đưa về một phân số:

Rút gọn hai tử số, ta có:

u2−2+2u+u2+2u=2u2+4u−2u^2 - 2 + 2u + u^2 + 2u = 2u^2 + 4u - 2u2−2+2u+u2+2u=2u2+4u−2

Bước 5: Nhân tử cuối cùng:

Kết hợp với x−1\sqrt{x} - 1x​−1.

b) Tính giá trị biểu thức PPP khi x=9−45x = 9 - 4\sqrt{5}x=9−45​
Tìm giá trị của x=9−45\sqrt{x} = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}x​=9−45​​.

Nhận diện x\sqrt{x}x​:

Cần đi tìm 9−45\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}9−45​​.

Để đơn giản hóa, giả định:

9−45=a−b\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}9−45​​=a​−b​

Bình phương hai vế và so sánh hệ số.

Tuy nhiên, mục tiêu cuối cùng là tính giá trị của PPP nên tốt nhất ta thay vào từng cụ thể để tính giá trị.

Hãy tính giá trị cuối cùng của PPP bằng vào giá trị đã chỉ ra. Để đơn giản hơn, ta có thể sử dụng máy tính hoặc đơn giản hóa thêm các bước đã có trước.

Để rút gọn biểu thức P = \left \frac{x - 2}{x + 2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} - 1), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Rút gọn PPP
Bước 1: Gọi u=xu = \sqrt{x}u=x​, từ đó x=u2x = u^2x=u2. Thay vào biểu thức PPP:

P=(u2−2u2+2u+1u+2)⋅u+u−1P = \left( \frac{u^2 - 2}{u^2 + 2u} + \frac{1}{u + 2} \right) \cdot u + u - 1P=(u2+2uu2−2​+u+21​)⋅u+u−1

Bước 2: Rút gọn phần bên trong dấu ngoặc:

Phân tích phần tử thứ nhất:

u2−2u2+2u=(u2−2)(u+2)(u2+2u)(u+2)=u3+2u2−2u−4u3+2u2\frac{u^2 - 2}{u^2 + 2u} = \frac{(u^2 - 2)(u + 2)}{(u^2 + 2u)(u + 2)} = \frac{u^3 + 2u^2 - 2u - 4}{u^3 + 2u^2}u2+2uu2−2​=(u2+2u)(u+2)(u2−2)(u+2)​=u3+2u2u3+2u2−2u−4​

Phân tích phần tử thứ hai:

1u+2\frac{1}{u + 2}u+21​

Bước 3: Tìm mẫu chung của hai phân số:

Mẫu chung là u2+2uu+2u^2 + 2uu + 2u2+2uu+2) ). Chúng ta cần mỗi phân số có mẫu chung này:

(u2−2)(u+2)(u2+2u)(u+2)+(u2+2u)(u+2)(u2+2u)=(u2−2)(u+2)+1(u2+2u)(u2+2u)(u+2)\frac{(u^2 - 2)(u + 2)}{(u^2 + 2u)(u + 2)} + \frac{(u^2 + 2u)}{(u + 2)(u^2 + 2u)} = \frac{(u^2 - 2)(u + 2) + 1(u^2 + 2u)}{(u^2 + 2u)(u + 2)}(u2+2u)(u+2)(u2−2)(u+2)​+(u+2)(u2+2u)(u2+2u)​=(u2+2u)(u+2)(u2−2)(u+2)+1(u2+2u)​

Bước 4: Rút gọn biểu thức trên:

Đưa về một phân số:

Rút gọn hai tử số, ta có:

u2−2+2u+u2+2u=2u2+4u−2u^2 - 2 + 2u + u^2 + 2u = 2u^2 + 4u - 2u2−2+2u+u2+2u=2u2+4u−2

Bước 5: Nhân tử cuối cùng:

Kết hợp với x−1\sqrt{x} - 1x​−1.

b) Tính giá trị biểu thức PPP khi x=9−45x = 9 - 4\sqrt{5}x=9−45​
Tìm giá trị của x=9−45\sqrt{x} = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}x​=9−45​​.

Nhận diện x\sqrt{x}x​:

Cần đi tìm 9−45\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}9−45​​.

Để đơn giản hóa, giả định:

9−45=a−b\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}9−45​​=a​−b​

Bình phương hai vế và so sánh hệ số.

Tuy nhiên, mục tiêu cuối cùng là tính giá trị của PPP nên tốt nhất ta thay vào từng cụ thể để tính giá trị.

Hãy tính giá trị cuối cùng của PPP bằng vào giá trị đã chỉ ra. Để đơn giản hơn, ta có thể sử dụng máy tính hoặc đơn giản hóa thêm các bước đã có trước.