### A) Chứng minh ABQC là hình chữ nhật
Để chứng minh tứ giác ABQC là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng cả bốn góc của tứ giác đều là góc vuông.

1. **Tam giác ABC vuông tại A**:
- Ta có: ∠CAB = 90°.

2. **E là trung điểm của BC**:
- Vì E là trung điểm của BC, nên BE = EC.

3. **E là trung điểm của AQ**:
- Điều này có nghĩa là AE = EQ.

Vì E là trung điểm của cả BC và AQ, tam giác BEQ là tam giác cân tại E. Để chứng minh tứ giác ABQC là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh hai đường chéo AC và BQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, và rằng hai đường này vuông góc với nhau.

- Từ thông tin trên, chúng ta có: AE = EQ = BE = EC.
- Trong tam giác ABC vuông tại A, tam giác ABQ cũng sẽ vuông tại A.

Do đó, tứ giác ABQC là hình chữ nhật vì:
1. Hai góc ở đỉnh A và B đều là góc vuông (do tam giác ABC và ABQ vuông tại A).
2. AB = QC (do tính chất hình chữ nhật).

### B) Gọi I là trung điểm CQ, chứng minh IE vuông góc với AB

1. **Gọi I là trung điểm của CQ**:
- Vì Q nằm trên đoạn AQ và E là trung điểm của AQ, nên AQ là đường trung trực của CQ.

2. **Chứng minh IE vuông góc với AB**:
- Trong tam giác AQC, ta có E là trung điểm của AQ và I là trung điểm của CQ, tức là EI là đường trung trực của CQ và vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

Bằng cách sử dụng các tính chất về đường trung bình và hình chữ nhật, chúng ta có thể chứng minh IE vuông góc với AB. Cụ thể, trong tam giác vuông ABC, đường trung bình từ trung điểm của một cạnh đến đỉnh góc vuông là trung trực và vuông góc với cạnh đáy. Vì E là trung điểm của BC và I là trung điểm của CQ, đường EI chính là đường trung bình, do đó IE vuông góc với AB.
 

### A) Chứng minh ABQC là hình chữ nhật
Để chứng minh tứ giác ABQC là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng cả bốn góc của tứ giác đều là góc vuông.

1. **Tam giác ABC vuông tại A**:
- Ta có: ∠CAB = 90°.

2. **E là trung điểm của BC**:
- Vì E là trung điểm của BC, nên BE = EC.

3. **E là trung điểm của AQ**:
- Điều này có nghĩa là AE = EQ.

Vì E là trung điểm của cả BC và AQ, tam giác BEQ là tam giác cân tại E. Để chứng minh tứ giác ABQC là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh hai đường chéo AC và BQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, và rằng hai đường này vuông góc với nhau.

- Từ thông tin trên, chúng ta có: AE = EQ = BE = EC.
- Trong tam giác ABC vuông tại A, tam giác ABQ cũng sẽ vuông tại A.

Do đó, tứ giác ABQC là hình chữ nhật vì:
1. Hai góc ở đỉnh A và B đều là góc vuông (do tam giác ABC và ABQ vuông tại A).
2. AB = QC (do tính chất hình chữ nhật).

### B) Gọi I là trung điểm CQ, chứng minh IE vuông góc với AB

1. **Gọi I là trung điểm của CQ**:
- Vì Q nằm trên đoạn AQ và E là trung điểm của AQ, nên AQ là đường trung trực của CQ.

2. **Chứng minh IE vuông góc với AB**:
- Trong tam giác AQC, ta có E là trung điểm của AQ và I là trung điểm của CQ, tức là EI là đường trung trực của CQ và vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

Bằng cách sử dụng các tính chất về đường trung bình và hình chữ nhật, chúng ta có thể chứng minh IE vuông góc với AB. Cụ thể, trong tam giác vuông ABC, đường trung bình từ trung điểm của một cạnh đến đỉnh góc vuông là trung trực và vuông góc với cạnh đáy. Vì E là trung điểm của BC và I là trung điểm của CQ, đường EI chính là đường trung bình, do đó IE vuông góc với AB.