Để chứng minh bất đẳng thức $(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} \right) \geq n^2$ với mọi $a_1, a_2, \dots, a_n > 0$, ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Cơ sở quy nạp

Với $n = 1$, bất đẳng thức trở thành:

$(a_1) \left( \frac{1}{a_1} \right) = 1 \geq 1^2$

Vậy cơ sở quy nạp đúng.

Bước 2: Giả thuyết quy nạp

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k$, tức là:

$(a_1 + a_2 + \cdots + a_k) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} \right) \geq k^2$

Bước 3: Chứng minh với $n = k + 1$

Ta cần chứng minh rằng:

$(a_1 + a_2 + \cdots + a_k + a_{k+1}) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{k+1}} \right) \geq (k + 1)^2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy:

$\left( \sum_{i=1}^{k+1} a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{a_i} \right) \geq (1 + 1 + \cdots + 1)^2 = (k + 1)^2$

Vậy ta có:

$(a_1 + a_2 + \cdots + a_k + a_{k+1}) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{k+1}} \right) \geq (k + 1)^2$

Do đó, bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.

Bước 4: Kết luận
Vì cơ sở quy nạp đúng và bước quy nạp cũng đúng, nên bất đẳng thức đã được chứng minh với mọi $n \in \mathbb{N}^*$

$(a_1 + a_2 + \dots + a_n)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right) \ge n^2$

Chứng minh bằng quy nạp:

Bước cơ sở: Với $n = 1$, ta có $(a_1)\left(\frac{1}{a_1}\right) = 1 \ge 1^2 = 1$. Bất đẳng thức đúng.

$(a_1 + a_2 + \dots + a_k)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k}\right) \ge k^2$

$(a_1 + a_2 + \dots + a_k + a_{k+1})\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{k+1}}\right) \ge (k+1)^2$

Ta có:

\begin{align*} \label{eq:1}(a_1 + a_2 + \dots + a_k + a_{k+1})\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{k+1}}\right) &= (a_1 + a_2 + \dots + a_k)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k}\right) \\ &+ (a_1 + a_2 + \dots + a_k)\left(\frac{1}{a_{k+1}}\right) \\ &+ a_{k+1}\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k}\right) + a_{k+1}\left(\frac{1}{a_{k+1}}\right) \\ &\ge k^2 + \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_k}{a_{k+1}} + \frac{a_{k+1}}{a_1} + \frac{a_{k+1}}{a_2} + \dots + \frac{a_{k+1}}{a_k} + 1\end{align*} 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_k}{a_{k+1}} + \frac{a_{k+1}}{a_1} + \frac{a_{k+1}}{a_2} + \dots + \frac{a_{k+1}}{a_k} \ge k \sqrt[k]{\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_k}{a_{k+1}} \cdot \frac{a_{k+1}}{a_1} \cdot \dots \cdot \frac{a_{k+1}}{a_k}} \ge k\sqrt[k]{1} = k$

Do đó:

$(a_1 + a_2 + \dots + a_k + a_{k+1})\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{k+1}}\right) \ge k^2 + k + 1$

Vì $k^2 + k + 1 \ge (k+1)^2$ chỉ khi $k=1$, ta không thể kết luận bất đẳng thức đúng với $n=k+1$. Cần một cách chứng minh khác.

Cách chứng minh khác: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$(a_1 + a_2 + \dots + a_n)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}\right) \ge \left(\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_i}}\right)^2 = n^2$