Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh bất đẳng thức

ab+c−a+4bc+a−b+9ca+b−c≥11b+c−aa+c+a−b4b+a+b−c9c≥11
với điều kiện a+b+c=6a+b+c=6, ta có thể sử dụng các biến đổi tới một dạng dễ chứng minh hơn.

Đặt b+c−a=xb+c−a=x, c+a−b=yc+a−b=y, a+b−c=za+b−c=z. Khi đó, từ điều kiện a+b+c=6a+b+c=6, ta có:

x+y+z=(b+c−a)+(c+a−b)+(a+b−c)=2(a+b+c)−(a+b+c)=6x+y+z=(b+c−a)+(c+a−b)+(a+b−c)=2(a+b+c)−(a+b+c)=6
Vậy x+y+z=6x+y+z=6.

Bất đẳng thức của ta trở thành:

6−xx+4(6−y)y+9(6−z)z≥11x6−x+y4(6−y)+z9(6−z)≥11
Để xử lý bất đẳng thức này, ta có thể sử dụng phương pháp của các bất đẳng thức nổi tiếng như Cauchy-Schwarz. Đầu tiên, chúng ta viết lại bất đẳng thức:

Nếu ta áp dụng Cauchy-Schwarz cho:

(ab+c−a+4bc+a−b+9ca+b−c)⋅(b+c−a+c+a−b+a+b−c)≥(a+4b+9c)2(b+c−aa+c+a−b4b+a+b−c9c)⋅(b+c−a+c+a−b+a+b−c)≥(a+4b+9c)2
thì ta có:

(ax+4by+9cz)⋅6≥(a+4b+9c)2(xa+y4b+z9c)⋅6≥(a+4b+9c)2
Suy ra:

a+4b+9cx+y+z≥(a+4b+9c)26x+y+za+4b+9c≥6(a+4b+9c)2
Áp dụng thêm điều kiện về tổng hợp gãy a+b+c=6a+b+c=6 đã cho, chúng ta có thể phân tích thêm để tìm ra nghiệm cụ thể từ những trường hợp nào thu được dấu "=".

Ta biết rằng dấu "=" trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xảy ra khi a:4b:9ca:4b:9c là tỉ lệ cố định cùng với chiều hướng là cạnh tương ứng. Như vậy, ta có thể tiếp tục tìm các tỷ lệ cụ thể cho a,b,ca,b,c.

Khi thử nghiệm với các giá trị cụ thể, ta thấy rằng:

Gán giá trị a=1,b=2,c=3a=1,b=2,c=3 thỏa mãn điều kiện a+b+c=6a+b+c=6.
Trong trường hợp này, ta có dấu "=" xảy ra bởi vì mọi tỉ lệ giữa các cạnh đều giữ nguyên.
Với

Stop generating

...Xem thêm

Answer 2