Chứng minh tam giác ABC vuông tại C:

Ta có: OA = OC = R (bán kính đường tròn)
Do đó, tam giác OAC cân tại O.
Gọi I là giao điểm của AC và OB.
Vì AC ⊥ OB tại I (theo giả thiết), nên I là trung điểm của AC (tính chất đường kính vuông góc với dây cung).
Tam giác OAC có OI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên tam giác OAC cân tại O và OI là phân giác góc AOC.
Suy ra, góc AOI = góc COI
Xét hai tam giác vuông OAI và OCI có:

OA = OC = R
OI chung
Góc AOI =  COI => ΔOAI = ΔOCI (c-g-c) => AI = CI và góc OIA = góc OIC = 90 độ.
Tam giác ABC có CI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến => tam giác ABC cân tại B.
Ta lại có: góc BAC + góc ACB + góc ABC = 180 độ.
Mà góc BAC = 90 độ (do tam giác OAB vuông tại A)
=> góc ACB + góc ABC = 90 độ
=> góc ABC = 90 độ - góc ACB.
Lại có góc OCB = góc OBC (tam giác OBC cân tại B do BC = BA).
=> góc OCB + góc BCA = góc OBC + góc BCA = góc ABC = 90 độ - góc ACB + góc ACB = 90 độ. => góc OCA = 90 độ. => Tam giác ABC vuông tại C.
Chứng minh BC là tiếp tuyến:

Tam giác ABC vuông tại C có I là trung điểm AC nên IB = IC = IA = AC/2 (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Do đó, tam giác IBC cân tại I.
Suy ra, góc IBC = góc ICB.
Ta có:Góc OBC = góc OCB (tam giác OBC cân tại O)
Mà góc OBC = góc IBC + góc OBI
Và góc OCB = góc ICB + góc OCI
=> góc IBC + góc OBI = góc ICB + góc OCI
Mà góc IBC = góc ICB (cmt)
=> góc OBI = góc OCI
Mà góc OCI = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại C, O nằm trên đường tròn đường kính AB)
=> góc OBI = 90 độ
=> OB ⊥ BC.
Lại có: C thuộc đường tròn (O).
Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 2:

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').

O là trung điểm của BH, O' là trung điểm của HC.
Do đó, OO' là đường trung bình của tam giác BHC.
Suy ra, OO' = (1/2)BC = (1/2)(BH + HC) = (1/2)BH + (1/2)HC = R + R' (với R là bán kính (O), R' là bán kính (O')).
Vậy hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau.
b) Chứng minh rằng tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

Vì (O) có đường kính BH nên góc BEH = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vì (O') có đường kính HC nên góc CFH = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét tứ giác AEHF, ta có:

Góc EAF = 90° (góc A của tam giác ABC)
Góc AEH = 90° (cmt)
Góc AFH = 90° (cmt)
Vậy tứ giác AEHF là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).
c) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến đường tròn (O) và đồng thời là tiếp tuyến đường tròn (O').

Chứng minh EF là tiếp tuyến của (O):

Vì AEHF là hình chữ nhật nên góc AEH = góc AEF = 90°.
Gọi I là giao điểm của AH và EF.
Tam giác AEH vuông tại E có I là trung điểm AH nên IE = IH = IA = AH/2.
Do đó, tam giác IEH cân tại I.
Suy ra, góc IEH = góc IHE.
Ta có:Góc OEH = góc OHE (tam giác OEH cân tại O)
Mà góc OEH = góc IEH + góc OEI
Và góc OHE = góc IHE + góc OHI
=> góc IEH + góc OEI = góc IHE + góc OHI
Mà góc IEH = góc IHE (cmt)
=> góc OEI = góc OHI
Mà góc OHI = 90 độ (AH là đường cao)
=> góc OEI = 90 độ
=> OE ⊥ EF.
Lại có: E thuộc đường tròn (O).
Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Chứng minh EF là tiếp tuyến của (O'):

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có O'F ⊥ EF và F thuộc đường tròn (O')
Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (O').
Kết luận: EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O')