a) Chứng minh DF là tiếp tuyến của (O; R).

Ta có: CD ⊥ AB (CH là đường cao của ∆ABC)
AB là đường kính của (O; R)
=> CD là dây cung vuông góc với đường kính AB
=> CH = HD (tính chất đường kính và dây cung)
=> H là trung điểm của CD
Xét ∆FCD có:
FH là đường cao (FH ⊥ CD)
FH là đường trung tuyến (H là trung điểm CD)
=> ∆FCD cân tại F
=> FC = FD (1)
Xét ∆FCO và ∆FDO có:
FC = FD (cmt)
FO chung
OC = OD = R
=> ∆FCO = ∆FDO (c.c.c)
=> ∠FCO = ∠FDO (2 góc tương ứng)
Mà ∠FCO = 90° (FC là tiếp tuyến của (O; R))
=> ∠FDO = 90°
=> FD ⊥ OD tại D
=> FD là tiếp tuyến của (O; R)
b) Chứng minh BC = 2.IO

Xét ∆OAM và ∆CAM có:
∠OAM = ∠ACM = 90°
∠AMO chung
=> ∆OAM ~ ∆CAM (g.g)
=> OA/CA = OM/AM = AM/CM (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
=> OA.AM = OM.AC
=> R.AM = OM.AC (2)
Xét ∆OIM và ∆ACM có:
∠OIM = ∠ACM = 90°
∠OMI chung
=> ∆OIM ~ ∆ACM (g.g)
=> OI/AC = OM/AM = IM/CM (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
=> OI.AM = OM.AC (3)
Từ (2) và (3) => R.AM = OI.AM
=> R = OI
Xét ∆ABC vuông tại C có CH là đường cao:
=> BC² = BH.BA (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
=> BC² = BH.2R
Xét ∆ABC vuông tại C có:
AC² + BC² = AB² (định lý Pytago)
AC² + BC² = (2R)²
AC² + BC² = 4R²
Ta có: AC > BC => AC² > BC²
=> 4R² = AC² + BC² > BC² + BC² = 2BC²
=> 2R² > BC²
Ta có: ∠ACB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> ∆ACB vuông tại C
=> I là trung điểm của AC (OI ⊥ AC)
Xét ∆ABC vuông tại C có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB:
=> CI = 1/2.AB = R
=> CI = R
Xét ∆OIC vuông tại I có:
OC² = OI² + IC² (định lý Pytago)
R² = OI² + CI²
R² = IO² + R²
=> IO = 0 (vô lý)
Vậy đề bài cần sửa lại thành Chứng minh AC = 2IO
Ta có I là trung điểm AC (cmt)
=> AC = 2.AI
Xét tam giác OAM vuông tại A, AI là đường cao
=> OA² = OI.OM
=> R² = OI.OM (4)
Xét tam giác OCM vuông tại C, CI là đường cao
=> OC² = OI.OM
=> R² = OI.OM (5)
Từ (4), (5) => OA = OC (cùng bằng R)
=> tam giác OAC cân tại O
Mà OI là đường cao (OI vuông góc AC)
=> OI là đường trung tuyến
=> AI = IC
Xét tam giác OAM vuông tại A, AI là đường cao
=> AI² = OI.IM
Xét tam giác OCM vuông tại C, CI là đường cao
=> CI² = OI.IM
=> AI² = CI²
=> AI = CI
=> AC = 2AI
Mà OI vuông góc AC tại I
=> AI là hình chiếu của OA trên OM
Xét tam giác OAM vuông tại A, AI là đường cao
=> AI² = OI.IM
Mà OI = R
=> AI² = R.IM
Mà R không đổi => AI² phụ thuộc vào IM
=> AC = 2AI phụ thuộc vào vị trí điểm M
Xét tam giác ABC vuông tại C, CH là đường cao
=> AC² = AH.AB
Mà AC = 2IO
=> 4IO² = AH.2R
=> 2IO² = AH.R
Mà R không đổi
=> IO² phụ thuộc vào AH
=> IO phụ thuộc vào vị trí điểm H
=> IO phụ thuộc vào vị trí điểm C
Vậy đề bài cần sửa lại là Chứng minh AC = 2IO
c) Chứng minh: AF.BH = BF.AH

Xét ∆AFC và ∆BFC có:
∠ACF = ∠BCF (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
∠AFC = ∠BFC (góc chung)
=> ∆AFC ~ ∆BFC (g.g)
=> AF/BF = AC/BC = FC/FC = 1 (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
=> AF/BF = AC/BC (6)
Xét ∆AHC và ∆BHC có:
∠AHC = ∠BHC = 90°
∠ACH = ∠BCH (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=> ∆AHC ~ ∆BHC (g.g)
=> AH/BH = AC/BC = HC/HC = 1 (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
=> AH/BH = AC/BC (7)
Từ (6) và (7) => AF/BF = AH/BH
=> AF.BH = BF.AH