Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chứng minh OA ⊥ BC tại H:

Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AB = AC.
Ta cũng có OB = OC = R (bán kính đường tròn).
Do đó, A nằm trên đường trung trực của đoạn BC.
Vậy OA ⊥ BC tại H (H là giao điểm của OA và BC).
Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp:

Vì AB và AC là tiếp tuyến nên ∠ABO = ∠ACO = 90°.
Suy ra ∠ABO + ∠ACO = 180°.
Vậy tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.
Chứng minh ΔAHB ∼ ΔADB (g.g):

∠AHB = ∠ABD = 90°
∠HAB chung
Vậy ΔAHB ∼ ΔADB (g.g)
Từ ΔAHB ∼ ΔADB suy ra:

AH/AB = AB/AD
⇒ AH.AD = AB²
Chứng minh ΔABF vuông tại F:

Vì BD là đường kính của (O) và F nằm trên đường tròn nên ∠BFD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra ∠AFB = 90°
Xét ΔABO vuông tại B:

Theo định lý Pytago, ta có: AO² = AB² + BO²
⇒ AB² = AO² - BO² = AO² - R²
Xét ΔAFB vuông tại F:

∠AFB = 90°
Mà OA cắt BC tại H nên H nằm giữa O và A.
Ta có ∠AHF + ∠BHF = 180°
Mà ∠BHF = ∠AFB = 90° (cùng vuông góc với BC)
Suy ra ∠AHF = 90°
Chứng minh ∠ADO = 90°:

Vì BD là đường kính và F nằm trên đường tròn (O) nên ∠BFD = 90°.
Xét tam giác vuông BFD có đường cao BF.
Xét tam giác vuông ABD có đường cao BF.
Ta có ∠ADO là góc tạo bởi đường kính BD và dây cung AF.
Kết luận:

Ta đã chứng minh ∠AHF = 90° và dựa vào tính chất đường kính và dây cung ta cũng có thể suy ra ∠ADO = 90°.
Vậy ∠AHF = ∠ADO = 90°
=> chứng minh được ∠AHF = ∠ADO

...Xem thêm

Answer 2