Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chứng minh:

Chứng minh tam giác AOB đồng dạng với tam giác BOD:

Ta có: ∠ABO = ∠BDO = 90° (AB là tiếp tuyến, BC là đường kính)
∠AOB = ∠BOD (cùng chắn cung BD)
Do đó, ΔAOB ~ ΔBOD (g.g)
Chứng minh BH là đường cao của tam giác ABC:

Vì BC là đường kính của đường tròn (O) nên ∠BDC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
OH ⊥ CD (theo đề bài)
Do đó, O, H, B thẳng hàng và BH ⊥ AC.
Vậy, BH là đường cao của ΔABC.
Chứng minh tứ giác ANBK là hình chữ nhật:

Ta có: ∠ABK = 90° (AB là tiếp tuyến)
∠AKB = 90° (AK ⊥ BH)
∠ANB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó, tứ giác ANBK có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Chứng minh I là trung điểm của BD:

Vì ANBK là hình chữ nhật nên AK = BN và AK // BN.
Ta có: ∠IAK = ∠IBN (so le trong)
∠AKI = ∠BNI (so le trong)
Do đó, ΔAKI = ΔBNI (g.c.g)
Suy ra, AI = BI và KI = NI.
Vì AI = BI nên I là trung điểm của AB.
ΔAOB ~ ΔBOD (đã chứng minh ở bước 1) nên AB/BD = OB/OD = 1 (vì OB = OD = R)
Suy ra, AB = BD.
Vậy, I là trung điểm của BD.
Chứng minh N là trung điểm của BH:

Từ ΔAKI = ΔBNI, ta suy ra NI = KI.
Mà AKNB là hình chữ nhật (chứng minh ở bước 3) nên đường chéo AN và BK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Do đó, N là trung điểm của BK.
Mà B, N, H thẳng hàng nên N cũng là trung điểm của BH.
Chứng minh CN // ID:

Vì N là trung điểm của BH và O là trung điểm của BC nên ON là đường trung bình của ΔBHC.
Do đó, ON // CH và ON = 1/2 CH.
Vì I là trung điểm của BD và O là trung điểm của BC nên OI là đường trung bình của ΔBDC.
Do đó, OI // DC và OI = 1/2 DC.
Mà H là trung điểm DC (vì OH ⊥ CD và O là tâm đường tròn) nên CH = 1/2 DC.
Suy ra, ON = OI.
Từ ON // CH và OI // DC, ta có ON // OI.
Do ON = OI và ON // OI nên tứ giác ONID là hình bình hành.
Suy ra, CN // ID

...Xem thêm

Answer 2