Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

Phần a:
Chứng minh tam giác △ACK\triangle ACK vuông:

Vì AKAK là đường kính của đường tròn (O;6 cm)(O; 6 \, \text{cm}), nên A,C,KA, C, K cùng thuộc đường tròn.
Theo định lý đường kính, góc ∠ACK=90∘\angle ACK = 90^\circ.
Vậy tam giác △ACK\triangle ACK vuông tại CC.
Chứng minh △AEB∼△AFC\triangle AEB \sim \triangle AFC:

Xét hai tam giác △AEB\triangle AEB và △AFC\triangle AFC:∠AEB=∠AFC=90∘\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ (do AD,BE,CFAD, BE, CF là các đường cao của tam giác).
∠BAE=∠CAF\angle BAE = \angle CAF (hai góc này là góc trong cùng tam giác △ABC\triangle ABC).
Do đó, △AEB∼△AFC\triangle AEB \sim \triangle AFC (theo trường hợp góc-góc-góc).

Phần b:
Chứng minh tứ giác BHCKBHCK là hình bình hành:

HH là trực tâm của tam giác △ABC\triangle ABC, nên AHAH, BHBH, CHCH lần lượt là các đường cao.
Vì AKAK là đường kính, trung điểm OO của đường tròn cách đều BB, CC, KK.
Trung điểm II của BCBC thuộc đoạn nối giữa các giao điểm đối xứng qua tâm.
Nên kết quả các đoạn kết thúc đúng vị hình.
Chứng minh AH=2⋅OIAH = 2 \cdot OI: Do trong tam Giács dhếk.
**bổ sung chi tiết trước !

Chúng ta tiếp tục làm rõ phần b:

Phần b (Tiếp tục):
Chứng minh tứ giác BHCKBHCK là hình bình hành:

AKAK là đường kính, nên OO là trung điểm của AKAK.
HH là trực tâm của tam giác △ABC\triangle ABC, nên BHBH và CHCH là các đường cao, đồng thời HH đối xứng với OO qua trung điểm BCBC (theo tính chất trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Trong tứ giác BHCKBHCK:BH∥CKBH \parallel CK: Vì cả BHBH và CKCK đều vuông góc với ACAC.
HC∥BKHC \parallel BK: Vì cả HCHC và BKBK đều vuông góc với ABAB.
Do BH∥CKBH \parallel CK và HC∥BKHC \parallel BK, tứ giác BHCKBHCK là hình bình hành.
Chứng minh AH=2⋅OIAH = 2 \cdot OI:

Gọi GG là trọng tâm của tam giác △ABC\triangle ABC, thì:

AH=2⋅HGAH = 2 \cdot HGvà HG=2⋅OIHG = 2 \cdot OI, vì HH, GG, OO, II thẳng hàng trên đường AHAH (đường trung trực và đường cao giao nhau tại trực tâm HH).
Từ đó suy ra:

AH=2⋅OI.AH = 2 \cdot OI.

Phần c:
Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BCBC và cung nhỏ BCBC:

Góc ∠BAC=45∘\angle BAC = 45^\circ, nên góc ∠BOC=2⋅∠BAC=90∘\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 90^\circ (tính chất góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn cung).
Diện tích hình quạt tròn BCBC với góc ở tâm 90∘90^\circ:

Bán kính đường tròn là R=6 cmR = 6 \, \text{cm}, diện tích hình quạt tròn: Squạt=90∘360∘⋅πR2=14π⋅62=9π cm2.S_{\text{quạt}} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 6^2 = 9\pi \, \text{cm}^2.
Diện tích tam giác △BOC\triangle BOC:

Vì △BOC\triangle BOC là tam giác vuông cân (∠BOC=90∘\angle BOC = 90^\circ), diện tích: S△BOC=12R⋅R=12⋅6⋅6=18 cm2.S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} R \cdot R = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \, \text{cm}^2.
Diện tích hình viên phân:

Svieˆn phaˆn=Squạt−S△BOC=9π−18 cm2.S_{\text{viên phân}} = S_{\text{quạt}} - S_{\triangle BOC} = 9\pi - 18 \, \text{cm}^2.

Kết quả:
a) △ACK\triangle ACK vuông; △AEB∼△AFC\triangle AEB \sim \triangle AFC.
b) BHCKBHCK là hình bình hành; AH=2⋅OIAH = 2 \cdot OI.
c) Diện tích hình viên phân: S=9π−18 cm2S = 9\pi - 18 \, \text{cm}^2.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các mối quan hệ giữa a và b đã cho mà không cần phải tìm giá trị cụ thể của a và b. Dưới đây là các bước tính toán cho từng biểu thức:

Bước 1: Tính A = a^2 + b^2

Có công thức:
a2+b2=(a+b)2−2aba2+b2=(a+b)2−2ab
Thay giá trị vào:
A=(5)2−2(2)=25−4=21A=(5)2−2(2)=25−4=21
Bước 2: Tính B = (a - b)^2

Có công thức:
(a−b)2=(a+b)2−4ab(a−b)2=(a+b)2−4ab
Thay giá trị vào:
B=(5)2−4(2)=25−8=17B=(5)2−4(2)=25−8=17
Bước 3: Tính C = a^2 - b^2

Có công thức:
a2−b2=(a−b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b)
Sử dụng giá trị đã tính từ bước 2 và đã cho:
C=(a−b)(5)C=(a−b)(5)
Chúng ta cần tìm giá trị của a−ba−b:Từ B=(a−b)2=17B=(a−b)2=17, suy ra a−b=17a−b=17​ (vì a > b).
Thay vào công thức:
C=17×5=517C=17​×5=517​
Bước 4: Tính D = a^3 + b^3

Có công thức:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
Thay giá trị vào:
D=5(21−2)=5×19=95D=5(21−2)=5×19=95
Bước 5: Tính E = a^4 + b^4

Có công thức:
a4+b4=(a2+b2)2−2(ab)2a4+b4=(a2+b2)2−2(ab)2
Thay giá trị vào:
E=212−2(22)=441−8=433E=212−2(22)=441−8=433
Bước 6: Tính F = a^5 + b^5

Có công thức:
a5+b5=(a+b)(a4+b4)−ab(a3+b3)a5+b5=(a+b)(a4+b4)−ab(a3+b3)
Thay giá trị vào:
F=5⋅433−2⋅95=2165−190=1975F=5⋅433−2⋅95=2165−190=1975
Tóm tắt kết quả:
A = 21
B = 17
C = 517517​
D = 95
E = 433
F = 1975
Các giá trị của các biểu thức cần tính đã được xác định như trên.