Để giải phương trình \( xy + x - 3y = 5 \), ta có thể thực hiện các bước như sau:

### Bước 1: Biến đổi phương trình
Phương trình ban đầu là:
\[
xy + x - 3y = 5
\]
Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử sao cho dễ giải:
\[
x(y + 1) - 3y = 5
\]
Tiếp theo, ta chuyển tất cả các hạng tử chứa \(y\) sang một phía:
\[
x(y + 1) = 3y + 5
\]

### Bước 2: Thử các giá trị của \(x\) và giải phương trình
Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị nguyên của \(x\) và tìm ra các giá trị tương ứng của \(y\).

#### Khi \(x = 1\):
\[
1(y + 1) = 3y + 5 \implies y + 1 = 3y + 5 \implies 1 - 5 = 3y - y \implies -4 = 2y \implies y = -2
\]
Vậy một cặp nghiệm là \(x = 1\), \(y = -2\).

#### Khi \(x = 2\):
\[
2(y + 1) = 3y + 5 \implies 2y + 2 = 3y + 5 \implies 2 - 5 = 3y - 2y \implies -3 = y \implies y = -3
\]
Vậy một cặp nghiệm là \(x = 2\), \(y = -3\).

#### Khi \(x = -1\):
\[
-1(y + 1) = 3y + 5 \implies -(y + 1) = 3y + 5 \implies -y - 1 = 3y + 5 \implies -6 = 4y \implies y = -\frac{3}{2}
\]
Do \(y\) không phải là số nguyên, nên không có nghiệm với \(x = -1\).

#### Khi \(x = 0\):
\[
0(y + 1) = 3y + 5 \implies 0 = 3y + 5 \implies 3y = -5 \implies y = -\frac{5}{3}
\]
Lại không phải là số nguyên, do đó không có nghiệm với \(x = 0\).

### Bước 3: Kết luận
Các nghiệm nguyên của phương trình là:
\[
(x, y) = (1, -2) \quad \text{và} \quad (x, y) = (2, -3)
\]