Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a

Chứng minh \( K \) là trung điểm của \( BF \)

Do \( ABC \) nội tiếp đường tròn đường kính \( BC \), nên \( \angle BAC = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông).

Chọn hệ trục tọa độ \( Oxy \) với tâm \( O \) của đường tròn \( (O) \) tại gốc tọa độ \( (0, 0) \).

- Gọi bán kính đường tròn \( (O) \) là \( R \).
- Tọa độ các điểm:
- \( B(R, 0) \), \( C(-R, 0) \) (vì \( BC \) là đường kính nằm trên trục hoành).
- \( A(0, R) \) (vì \( \angle BAC = 90^\circ \) và \( A \) nằm trên đường tròn).

Tìm tọa độ điểm \( H \) và \( I \):

- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nên \( H \) có hoành độ bằng hoành độ của \( A \) (vì \( AH \perp BC \)), tức \( H(0, 0) \).
- \( I \) là trung điểm của \( AH \), nên \( I \left( \dfrac{0 + 0}{2}, \dfrac{R + 0}{2} \right) = (0, \dfrac{R}{2}) \).

Phương trình tiếp tuyến tại \( B \) của đường tròn \( (O) \):

- Tiếp tuyến tại \( B(R, 0) \) có phương trình: \( x = R \)

Tìm tọa độ điểm \( F \):

- Phương trình đường thẳng \( AC \):
- Hệ số góc \( m_{AC} = \dfrac{0 - R}{-R - 0} = 1 \).
- Phương trình: \( y - R = 1(x - 0) \) hay \( y = x + R \).
- Giao điểm \( F \) của \( AC \) và tiếp tuyến tại \( B \):
- Thay \( x = R \) vào phương trình \( AC \): \( y = R + R = 2R \).
- Vậy \( F(R, 2R) \).

Phương trình đường thẳng \( CI \):

- \( C(-R, 0) \) và \( I(0, \dfrac{R}{2}) \).
- Hệ số góc \( m_{CI} = \dfrac{\dfrac{R}{2} - 0}{0 - (-R)} = \dfrac{R/2}{R} = \dfrac{1}{2} \).
- Phương trình: \( y - 0 = \dfrac{1}{2}(x + R) \) hay \( y = \dfrac{1}{2}(x + R) \).

Tìm giao điểm \( K \) của \( CI \) và \( BF \):

- \( BF \) là đường thẳng \( x = R \).
- Thay \( x = R \) vào phương trình \( CI \): \( y = \dfrac{1}{2}(R + R) = R \).
- Vậy \( K(R, R) \).

Kiểm tra vị trí của \( K \) trên \( BF \):

- \( B(R, 0) \) và \( F(R, 2R) \).
- Tung độ của \( K \): \( y_K = R \).
- Vì \( y_K = \dfrac{y_B + y_F}{2} \), nên \( K \) là trung điểm của \( BF \).

\( K \) là trung điểm của \( BF \).

B

Chứng minh \( OK \perp AB \).

Tọa độ các điểm:

- \( O(0, 0) \), \( K(R, R) \), \( A(0, R) \), \( B(R, 0) \).

Tính vectơ \( \vec{OK} \) và \( \vec{AB} \):

- \( \vec{OK} = K - O = (R, R) - (0, 0) = (R, R) \).
- \( \vec{AB} = B - A = (R, 0) - (0, R) = (R, -R) \).

Tính tích vô hướng \( \vec{OK} \cdot \vec{AB} \):

- \( \vec{OK} \cdot \vec{AB} = R \times R + R \times (-R) = R^2 - R^2 = 0 \).

Kết luận:

- Vì \( \vec{OK} \cdot \vec{AB} = 0 \) nên \( \vec{OK} \perp \vec{AB} \).
- Do đó, \( OK \perp AB \).

...Xem thêm

Answer 2

a