Tìm thời gian lên đến điểm cao nhất (tại H):
Tại điểm cao nhất, vận tốc theo phương thẳng đứng \( v_y = 0 \), do đó, ta có thể dùng công thức sau để tìm thời gian \( t_{\text{max}} \) mà vật thể đạt chiều cao cực đại:
\[
v_y = v_0 \sin \alpha - g t = 0
\]
Suy ra thời gian lên đến điểm cao nhất là:
\[
t_{\text{max}} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}
\]

Tính chiều cao cực đại (H):
Ta thay thời gian \( t_{\text{max}} \) vào phương trình chuyển động theo phương thẳng đứng \( y(t) \) để tính chiều cao cực đại:
\[
H = y(t_{\text{max}}) = v_0 \sin \alpha \cdot \frac{v_0 \sin \alpha}{g} - \frac{1}{2} g \left( \frac{v_0 \sin \alpha}{g} \right)^2
\]
Simplify:
\[
H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \frac{1}{2} \cdot \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{g}
\]
\[
H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}
\]

\[
H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}
\]
Đây chính là công thức tính chiều cao cực đại \( H \).

Công thức tính tầm xa (L):

Tiếp theo, ta chứng minh công thức tính tầm xa L trong chuyển động ném vọt.

- Phương trình chuyển động theo phương ngang:
\[
x(t) = v_0 \cos \alpha \cdot t
\]Tính thời gian vật rơi xuống đất:
Thời gian rơi xuống đất chính là thời gian vật thể di chuyển trong không gian trước khi chạm đất. Khi vật thể rơi xuống đất, phương trình chuyển động theo phương thẳng đứng sẽ bằng 0:
\[
y(t) = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = 0
\]
Ta có phương trình bậc 2:
\[
t \left( v_0 \sin \alpha - \frac{1}{2} g t \right) = 0
\]
Thời gian \( t = 0 \) là thời điểm ban đầu, còn thời gian \( t \) khi vật chạm đất là:
\[
t = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}
\]

Tính tầm xa (L):
Tầm xa là quãng đường vật thể đi được theo phương ngang trong suốt thời gian chuyển động, tức là:
\[
L = x(t_{\text{total}}) = v_0 \cos \alpha \cdot t_{\text{total}} = v_0 \cos \alpha \cdot \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}
\]
Sử dụng công thức \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), ta có:
\[
L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}
\]

\[
L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}
\]
Đây là công thức tính tầm xa \( L \) trong chuyển động ném vọt.

Chiều cao cực đại: \( H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} \)
Tầm xa: \( L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} \)

Hai công thức này mô tả các đại lượng trong chuyển động ném vọt với vận tốc ban đầu \( v_0 \) và góc ném \( \alpha \).

1. Chiều cao tối đa \( H \)

Trong chuyển động ném xiên, chiều cao tối đa \( H \) đạt được khi vận tốc theo phương thẳng đứng bằng 0 (khi vật đạt đỉnh)

Phân tích:

- Vận tốc theo phương thẳng đứng: \( v_{y} = v_0 \sin \alpha - gt \)
- Tại đỉnh, \( v_y = 0 \Rightarrow t = \dfrac{v_0 \sin \alpha}{g} \) (thời gian để đạt đỉnh)

Thay \( t = \dfrac{v_0 \sin \alpha}{g} \) vào công thức quãng đường theo phương \(y\):

\[
H = v_0 \sin \alpha \cdot \dfrac{v_0 \sin \alpha}{g} - \dfrac{1}{2} g \left( \dfrac{v_0 \sin \alpha}{g} \right)^2
\]

Đơn giản hóa:

\[
H = \dfrac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}
\]

2. Tầm xa \( L \)

Tầm xa là khoảng cách theo phương ngang mà vật đi được trước khi chạm đất trở lại

- Thời gian chuyển động toàn phần \( T = \dfrac{2v_0 \sin \alpha}{g} \)

- Quãng đường theo phương ngang: \( L = v_0 \cos \alpha \cdot T \)

Thay \( T = \dfrac{2v_0 \sin \alpha}{g} \):

\[
L = v_0 \cos \alpha \cdot \dfrac{2v_0 \sin \alpha}{g} = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}
\]

Vậy:
- Chiều cao tối đa \( H = \dfrac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} \)
- Tầm xa \( L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} \)